grupp: top02-50
namn1: Martin Claesson
namn2: 
************************************************************
Lab 2
av Martin Claesson 770107-2550
Grupp: top-50

*** Del I ***

1.a:
Metoderna konvergerar mot punkten (-2.25,-3.06)
BL kräver 9 iterationer.
Newton kräver endast en.

1.b:
Funktionen är konvex så det är ett optimalt globalt minimum.

1.c:
Newton gör en approximation av optimallösningen genom en Taylor-utveckling. I detta fall råkar detta sammanfalla med optimala lösningen.

2.a:
Newton: 5 iterationer till punkt (1,1)
Newtons modifierade: 13 iterationer till punkt (1,1) 
BL: 201 interationer till punkt (0.93,0.86) och då uppnås max antal iterationer.

2.b:
Funktionen är inte konvex, men punkten (1,1) är ett globalt minimum eftersom när jag väljer metoden "Newtons modifierade" och startar i punkterna (2,3) och (-2,3) söker sig metoden mot lösningen genom "dalen" i grafen från båda hållen. Det innebär att funktionen har högre värden i resten av "dalen".

2.c:
Newton är mycket effektiv.

3.a:
Newton fungerar inte för att hessianen är noll i (0,0).
Med Marquardt går det dock bra och optimal punkt är (3,1).

3.b:
Lokalt min: (3,1)
Lokalt max: (-3,-1) 
Sadelpunkter: (3,-1),(-3,1)


*** Del 2 ***

1.a:
Matlab prompt:

>> type objfun

function f = objfun(x)
f = -( x(1) - 2*x(1)^2 + 2*x(2) - x(2)^2 + x(1)*x(2));

>> type confun

function [c,ceq] = confun(x)
c=[x(1)^2-x(2);
   x(2)-2*x(1)];

ceq=[0;0];

>> [x,fval,exitflag,output] = fmincon(@objfun,[0,0],[],[],[],[],[],[],@confun);
>> x

x =

    0.6250    1.2500


1.b:
Gradienten blir: [  1 - 4*x(1) + x(2)  ]
                 [  2 - 2*x(2) + x(1)  ]

Hessianen blir: [-4   1]
                [ 1  -2]

Hessianen är negativt definit => lokalt maxima

Eftersom gradienten inte innehåller några uttryck av andra graden finns det bara en punkt där gradienten är noll. Därmed är punkten ett globalt maxima.


2:
>> type objfun2

function f = objfun2(x)
f = x(1);

>> type confun2

function [c,ceq] = confun2(x)
c=[(x(1)-1)^2 + (x(2)+2)^2-16;
   -x(1)^2-x(2)^2 + 13];

ceq=[];

Löser med fmincon och får följande lösningar med olika startpunkter:
(0,0): inget resultat
(1,1): x=(3.4,1.2) efter 6 iterationer
(-1,-1): x=(-3.0,-2.0) efter 7 iterationer
(3.7,0): x=(3.6,0) efter 4 iterationer

Det här verkar ju helt knäppt. Vad har jag gjort fel?


*** Del III ***

1.
Exempel 2
EVP konvergerar mot (0.7,0.7)
IVP konvergerar mot (3.2,0.7)

Exempel 3
EVP konvergerar mot (4,-3.5)
IVP konvergerar mot (4,-3.5)

2.
Alla punkterna ligger så att något bivillkor är aktivt och ingen punkt ligger på någon stationär punkt.

3.
Exempel 3 borde ha optima vid (4,-3.5) eftersom båda metoderna går mot denna punkt.

Exempel 2 jämför jag målfunktionens värde i de två punkterna. Och får att punkten (3.2,0.7) ger målfunktionen ett lägre värde.