Lösning

Matematik

Chalmers tekniska högskola 
Göteborgs universitet

TMA976 Matematisk analys, fortsättning, HT 2006

Snabbmeny
| Lärare | Kurslitteratur| Examination | Tentamina | Schema |
| Föreläsningar | Övningar| Gamla Tentor | Teorifrågor

Inledning
"Matematisk analys, fortsättning" skall ge förtrogenhet med grundläggande teorier inom matematisk analys i en och delvis flera variabler, samt belysa deras tillämpningar inom fysik och teknik.
Kursen kommer i kontakt med flera områden inom analysen. Speciellt ingår grunderna om differentialekvationer. De har studerats under flera hundra år och har stor betydelse inom många vetenskapsområden; t.ex. så är naturlagarna i allmänhet differentialekvationer. För en övergripande beskrivning av andra delar av kursinnehållet se innehåll nedan.

Examinator och Föreläsare
Peter Sjögren, Matematiska vetenskaper, rum 4019, telefon 772 35 11.

Övningsledare
grupp a och c Johan Berglind telefon: 7723584 e-post: johanbe
grupp b och d Katarina Jushenko telefon: 7724991 e-post: jushenko

Kurslitteratur
Aktuella m-filer:
  taylor.m. Välj funktion och gradtal på Maclaurinpolynomet.
  kurvor.m. Se några kurvor uppritas.
  grafritning.m. En script-fil som berättar hur man konstruerar en funktionsyta.
  ytor.m. Visar olika andragradsytor.
  de_2.m. Löser en andra ordningens differentialekvation.
  lorenz.m. Löser Lorenz kända system av differentialekvationer med ett kaotiskt beteende.
  weierstrass.m. Weierstrass' exempel på en kontinuerlig, ingenstans deriverbar funktion.
Examination
Examinationen består av en skriftlig tentamen med 8 uppgifter, av vilka 6 är av problemkaraktär. De resterande 2 uppgifterna är s.k. teorifrågor där det gäller att kunna redogöra för vissa kursmoment (definitioner och satser samt bevis av satser). Skrivningstiden är 4 timmar. Inga hjälpmedel är tillåtna. Något formelblad kommer inte att tillhandahållas.
Maximipoängen är 60. Minimikravet för godkänt är 24 poäng (betyg 3). För betyget 4 krävs minst 36 poäng och för betyget 5 minst 48.
Om flera tentamina gjorts räknas det bästa resultatet.

Tentamina

Vid tentamina är inga hjälpmedel tillåtna (speciellt inte miniräknare).

Schema
Föreläsningar/Övningar
Måndag  8 - 10
10 - 12
Föreläsning i GD
Övningar i FL 74-73, grupp c och d
Onsdag  13 - 15 utom v. 3
10 - 12, v. 3
15 - 17 utom v. 3
Föreläsning i GD
Övningar i FL 74-73 grupp a och b
Övningar i FL 74-73 grupp a och b
Torsdag  8 - 10
15-17 v. 5
10 - 12
Föreläsning i GD
Föreläsning i GD
Storgruppsövning i GD

Obsevera att under vecka 5 och 6 är datorlaborationer inlagda parallellt med räkneövningarna. För schema för datorlaborationerna se här

Under vecka 7 blir det extra storgruppsövningar, tisdagen den 12/12 kl 10--12 med Peter S och torsdagen den 14/12 kl 13--15 med Johan B, allt i GD. De övningar som gås igenom finns här: extraövningar.

Arbetsprogram, föreläsningar
Preliminär plan
  Bokavsnitt Innehåll
v 1 PB1: Kap 8.1-8.3
PB1: Kap 8.4-8.6
PB1: Kap 8.7-8.8, kompl.
Differentialekvationer: Fysikaliska exempel. Linjära och separabla.av första ordn.
Integralekvationer, linjära diff.ekv., speciellt av andra ordningen.
Linjära ekvationer av godtycklig ordning.
v 2 PB1: Kap 8.8-8.9
PB1: Kap 9.1-9.2
PB1: Kap 9.3-9.5
Linjära diff.ekv, några speciella ekvationer.
Taylors och Maclaurins formler: Approximation med Taylorpolynom.
Standardutvecklingar, entydighet och gränsvärdesberäkningar.
v 3 PB1:Kap 9.6, ELW:16.9-16.10
PB2: Kap 1.1-1.4
PB2: Kap 1.5-1.6
Gränsvärdesberäkningar, l`Hospitals regel.
Mängder i Rn , funktionsytor, nivåkurvor, nivåytor, rymdkurvor, andragradsytor
Gränsvärden och kontinuitet för funktioner av flera variabler.
v 4 ELW: Kap 17.1-17.4
ELW: Kap 17.5-17.6
Extra
Talföljder. Differensekvationer.
Differensekvationer.
Iteration, Newton-Raphsons metod.
v 5 ELW: Kap 18.1-18.3
ELW: Kap 18.4-18.5
ELW: Kap 18.5-18.6
Serier: konvergens och divergens, huvudsatsen, integralkriteriet.
Jämförelsekriterier, rot- och kvotkriterierna, alternerande serier, Leibniz' kriterium.
Absolutkonvergens, omordning av serier.
v 6 ELW: Kap 19.1-19.2
ELW: Kap 19.3-19.4 
ELW: Kap 19.5, App. A
Potensserier: Taylorserier, potensserier och deras konvergens.
Derivation och integration av potensserier, lösning av differentialekvationer.
Funktionsserier och funktionsföjder: punktvis och likformig konvergens.
v 7 ELW: App. B, C, D
Reserv, repetition
 
Dominerad konvergens, omkastning av gränsprocesser.

Arbetsprogram, övningar
Preliminär plan
  Bokavsnitt Läraren demonstrerar ur Teknologen räknar
v 1 PB1 Kap 8: 8c, 9b, 20, 23e  ||
28, 34, 38c, 49b, 42  ||
8b, 9(övr), 18, (19)
21, 23(övr), 24, 37, 38ab, 39, 40, 43, 47-51, 53
v 2

PB1 Kap 8:

PB1 Kap 9:

51bd, 56a, 58a, 63c ||
67, 71a, 75, 
10, 15  ||
62, 63, 64, 52, 54-57
65, 66, 70, 71b, 74, 75
14, 16, 24, 26, 27a
v 3 PB1 Kap 9:
ELW Kap 16:
20, 25, 27b, 28b, 29b, 31cb ||
39, 40a, 43bc, 44a  ||
30, 31a, 29, 40, 41, (44), 45
6, (12a, 14*), 23, 40b, 42c, 43f
v 4 PB2 Kap 1: 

ELW Kap 17: 
6+10, 11c, 16bc, 24cd, 26b ||
27ce, 29e, 33
4ab, 9bf, 13 ||
2b, 5, 9, 11ab, (16), 20cd, 22
24aeg, 25b, 27abd, 28
4c, 5, (8), 9acde
v 5 ELW Kap 17:
ELW Kap 18:
15ch, 16b, 17c
3abc, 16a ||
18a, 20c, 22, 24, 27c ||
15bde, 16d, 17be
4d, 6, 10, 16b
20b, 23, 27b
v 6 ELW Kap 18:
ELW Kap 19:
28bd, 29ac, 35a, 36e, 37bcd ||
2cfor, 3c, 4b ||
28a, 29bd, 30ad, 34, 35b
36ac, 37a(d), 2bek, (3, 4övr)
v 7 ELW Kap 19: 6ce, 7, 8b, 9df, 10 ||
14a, 19, 20, 22b, 24, 29 ||
6ab, 8ac, 9b
14cd, (15, 16), 21, 22a

Gamla tentor
Teorifrågor
Minst en av teorifrågorna hämtas från nedanstående lista:
  1. Lösning till en linjär differentialekvation/differensekvation kan delas upp i en partikulärlösning och en homogen lösning. (PB1 sats 8.1 och ELW sats 17.4) 
  2. Lösningsformeln för en homogen linjär differentialekvation av ordning 2 (se PB1 sats 8.2, jfr med ELW sats 17.5) 
  3. Maclaurins formel (se PB1 sats 9.1) 
  4. Standardutvecklingar av några elementära funktioner (PB1 sats 9.2, ELW sats 16.6) 
  5. Entydighet av Maclaurinutvecklingar (PB1 sats 9.3)
  6. l'Hospitals regel (ELW sats 16.8)
  7. ELW sats18.2, 18.5
  8. Integralkriteriet (ELW sats 18.6, PB1 sats 7.1)
  9. Jämförelsekriteriet för positiva serier (ELW sats 18.8)
  10. Rotkriteriet (ELW sats 18.10)
  11. Leibniz' konvergenskriterium (ELW sats 18.13)
  12. Om potensseriers konvergens (ELW sats 19.2-3)
  13. Weierstrass' majorantsats (ELW sats 19.9)
  14. Om gränsövergång under integraltecknet vid likformig konvergens (ELW sats19.10)



Senast uppdaterad: 20/12 2006 se studieportalen