Index of /Math/Grundutb/CTH/tmv070/0304

Här finns all information och allt utdelat material till kursen
matematiska metoder, fk, del B (transformer), tma980 och tmv070, ht 03

Kursansvarig: Bernhard Behrens, tel 772 3537
Mottagning: måndagar 12-13 (matem. centrum, rum 1239)
extramottagning ons 17/12 kl. 12-13

TENTOR:       övningstenta: lö 22/11, kl. 11.15-13.15, i V (finns nu i mottagningsrummet).
                        ordinarie tenta: fredag, 19/12, kl. 14.15-18.15, i V. Den är rättat.
                          Tentan ges tillbaka v4 kl. 10.45-10.55 i HA1. resultat
                          omtentor: 04-04-14 e (V), 04-08-17 e (V)

schema
formelblad (delas ut och får användas på tentorna)
rättelser (här kommer rättelser till gula häftet (BB) och till övningarna, sist uppdaterat 03-12-12)
övningsuppgifter till transformkursen (del1)
repetitionsfrågor (=teorifrågor)
gamla tentor
tenta 96-09-27 med lösningar
datorlaborationen
maple-exempel (*.mws - fil)

Utförlig dag-för-dag planering:

må 27/10: Vi definierar och diskuterar Laplacetrans- formationen: styckvis kontinuerliga f av exponentiell ordning med ändlig impulsdel har en L-transform F och kan återskapas ur F, F är analytisk i ett halvplan, L-transformationen är en lineär avbildning från 'tidsrummet' till 'fasrummet'. Vi ger exempel och börjar med (fysikaliska) regler (dämpningsregel-fördröjningsregel). (LJ, kap5) viktigt:
Hur definieras Laplacetranformen till en funktion? Vilka f kan (kan inte) L-transformeras? Egenskaper av F (analytisk...). Vad menas med ROC(F)? Egenskaper av L-transformation?
RÄKNA INSTUDERINGSUPPGIFTERNA (BB), studera sedan de utförliga lösningarna!!

ti 28/10: Vi fortsätter med reglerna (derivering på ena sidan
motsvaras av multiplikation med variabeln på andra sidan,
integrering motsvaras av division med variabeln), härleder
transformationspar och använder L-transfomation för att lösa differentialekvationer (begynnelsevärdesproblem). Sedan
börjar vi med distributioner, ett oumbärligt verktyg inte bara
för signalbehandling. Vi definierar rummet av testfunktioner. BB del1: 1.1. viktigt:
Kan du härleda och tillämpa reglerna? Kan du transformera (inverstransformera)??? Träna, träna...                                   Vad är en testfunktion?

må 3/11: Vi definierar "distribution" (kontin. funktional på rummet av testfunktionerna). Funktioner kan ses som ("reguljära") distributioner, nytt är däremot Dirac's delta-puls som vi studerar utförligt. Vi definierar derivatan, translationen mm av distributioner och visar bl.a. att Diracpulsen är derivatan av stegfunktionen. LJ kap 3.2, BB del1: 1.1. viktigt:
Vad är en distribution? Vad är Dirac's delta puls? Kan du räkna med den? Hur definieras derivatan av en distribution? Kan du visa att delta pulsen är derivatan av Heavisides stegfunktion?

ti 4/11: Nu börjar vi med Fouriertransformen; en fin motivation för allt fås via Fourierserien för T-periodiska fkt. där perioden T går mot oändligheten. Det mesta liknar Laplacetransformen (reglerna), men nu får vi fysikaliskt intressant information: Fouriertransformen ger den
spektrala uppdelningen av en signal, dess amplitud- och fassprektrum, dess spektrala avskärning. Vi exemplifierar
allt med fyrkantpulsen. LJ, kap 4, BB del1: 1.2. viktigt:
Kan du motivera Fouriers integralsats utgående från en periodisk funktioner där perioden går mot oändligheten? Hur definieras Fouriertransformen? Hur fås den inversa     F-transformen? För vilka funktioner gäller det? (Fouriers     integralsats). Vad är amplitudspektrum, fasspektrum resp. den spektrala avskärning av en funktion?

fr 7/11: Vi börjar nu med reglerna: linearitet, konjugatregeln och skalningsregeln, som ger många intressanta transformpar. Vi visar att reellvärda funktioner har jämn amplitudspektrum och udda fasspektrum och får Fouriercosinusintegralen (amplitudfasvinkelformen). Vidare visar vi att "dämpning på ena sidan motsvarar translation på andra sidan". viktigt:
Kan du härleda [F03] tom [F20]? Amplitudfasvinkelform för rellvärda funktioner?

må 10/11: Vi upptäcker den underbara symmetriregeln som ger oss nya transformpar. Vidare visar vi deriveringsreglerna och Plancherels formler som innehåller mycket intressant fysikalisk information. Som repetition visar vi att mer än 90% av fyrkantpulsens totala energi ligger i huvudloben (oberoende av varaktigheten T). Sedan inför vi F-transformationen av distributioner: nu ser vi finessen av valet av testfunktioner: "invariant under F-transformationen". Vi härleder Fourier- transformen av delta, 1, signum och stegfunktionen. BB, del1: 1.1, 1.2. tisd 11/11 visar vi regel 4 (BB, sid 4): om xf=0 så är f en deltapuls, får nya transformpar med distributioner. Vidare ser vi hur bra delta resp. stegfunktionen approximeras av sin spektrala avskärning. Sedan börjar vi med den centrala faltnings - produkten. BB del1: 1.1-1.3. viktigt:
Kan du (använda, härleda) Plancherels formler? Tolkning? Vad är energispektrum, den totala energin, av en signal? Kan du (använda, härleda) symmetriregeln? Hur definieras F-transformen av en distribution? Kan du härleda F-transformen av delta, 1, theta, signum? När gäller f^(w)=F(jw)? Hur definieras faltningen mellan funktioner? Regler?

må 17/11: Vi fortsätter att förundras över denna faltning: derrivering, intergering, translation, spektral avskärning, skalärprodukt, allt detta kan uttryckas med faltning. Och de linjära ekvationer vi behandlar i denna kurs, är faltningsekvationer. Transformer omvandlar denna (ohanterliga) produkt till vanlig multiplikation. Vi visar även sambandet Fourier - och Laplacetransform. tisd 18/11 behandlar vi som viktig tillämpning faltningsekvationer (som kan enkelt lösas med transformation), och därmed har vi börjat med kursens huvudämne: dynamiska system (filter), vi definierar (tidskontinuerligt, tidsdiskret) filter, klargör begreppen in-utsignal (=svar på insignalen). Vi ger exempel på filter (derivering, translation, det ideala lågpassfiltret, RC-, RL-, LC-filtret, hamoniska oscillatorn mm) och ser att alla dessa ges av en faltningsekvation. Sedan definierar vi LTI-filter och visar att det är precis faltningsfiltrena: utsignalen är insignalen faltad med "impulssvaret".
fr 21/11: Vi motiverar namnet "filter", bestämmer
sinussvaret för LTI-filter och ser att filtrets impulssvar innehåller all information, därför införs begreppen frekvensöverföringsfunktion, amplitud- och faskarakteristik. Vi räknar exempel (RC, RL, LC-filter). Sedan definierar och studerar vi kausalitet, kan för LTI-filter avläsas direkt på impulssvaret. BB del1: 1.3, 1.4. viktigt:
När gäller att L-transfomen (för s=jw) är lika med F-tranformen?
Kan du uttrycka derivering, translation mm med hjälp av faltning? Kan du visa att transformationer (Laplace-, Fourier-, senare z-) omvandlar faltningen till vanlig multiplikation? Vad är och hur löses en faltningsekvation? Vad är ett tidskontinuerligt filter, ett tidsdiskret filter? Vad menas med insignal (utsignal)? Vad är ett linjärt filter, ett tidsinvariant filter, ett faltningsfilter? Filtrets tillståndsekvation? Filtrets impulssvar? Stegsvar? Kan du visa att LTI är ekvivalent med att filtret är faltningsfilter? Att derivatan av stegsvaret är impulssvaret i LTI-filter? Vad är sinussvaret i LTI-filter? Vad är frekvensöverföringsfunktion, amplitud- resp. faskarakterisitik för ett filter?
Vad är ett kausalt filter?

må 24/11: Vi definierar och studerar stabilitet, även det kan för LTI-filter avläsas på impulssvaret. Till sist behandlar vi kausala LTI-filter vars överföringsfunktion är en rationell funktion (tillståndsekvation en lineär diffekv. med konstanta koeff.). Polerna till H avgör stabilitet. Vi går igenom alla våra exempel.BB del1: 1.4. ti 25/11: Nu börjar vi med diskreta signaler/filter. Det är ren repetition. Först definierar vi tidsdiskret signal (=komplex följd), rummet av diskreta signaler med nedåt begränsat stöd, D-operatorn och z-transformation och ger exempel på transformpar. Sedan visar vi regler för z-transf. (linjearitet, fördröjnings-, dämpnings-, deriveringsregel) och räknar exempel. BB del2: 1.2. viktigt:
vad är ett stabilt filter? Hur kan för LTI-filter kausalitet/stabilitet avgöras m.h.a. impulssvaret? Vilka egenskaper har ett stabilt LTI-filter? Vad är ett filters överföringsfunktion (system funktion)? Hur kan stabilitet avgöras för ett kausalt LTI-filter med rationell överföringsfunktion (algebraiskt)? Vad är en pol?
Vad är en tidsdiskret signal? Rummet av signaler med nedåt begränsat stöd (right sided signals)? Bas för detta rum? Hur    definieras delay-operatorn D? z-transfom? Vad är ROC(X)? Kan du härleda z-transf. av enhetssteget, enhetspulsen mm? Kan du (härleda) reglerna för z-tarnsformstion?

må 1/12: Vi definierar faltningen och visar att den är en kommutativ produkt med etta och omvandlas av z-transf. till vanlig multiplikation. Efter några exempel börjar vi med "diskreta filter": vi definierar LTI-filter, kausalt filter, impulssvar, system function. Vi visar "LTI-filter =faltningsfilter" och karakterisar kausala filter. ti 2/12: vi definierar och karakteriserar stabila filter, speciellt filter vars överföringsfunktion är en rationell funktion (= de filter som ges av en differensekvation). Sinussvaret bestäms. Sedan behandlar vi differensekvationer, bl.a. får vi de berömda Fibonaccitalen. BB del2: 1.2, 1.3, 1.4. fr 5/12: Vi studerar F-serier av periodiska distributioner (samplingståget), ortogonalsystem för L₂-rum och Fourierserier m.a.p. ortogonalsystem (ger bästa approximationen) och visar samplingsteoremet och Poissons summationsformel. BB del1: 1.5, sats 2.4, del2: 2.5 viktigt:
Hur definieras faltning av sekvenser? Kan du visa att z-transf. omvandlar faltningen till en vanlig multiplikation? Vad är ett tidsdiskret filter? Ett linjärt, ett tidsivariant, ett kausalt filter? Filtrets överföringsfunktion (system function)? Kan du visa att ett filter är LTI om och endast om det är ett faltningsfilter? Vadd är ett stabilt filter? Hur visas kausalitet, stabilitet? Kan du sinussvaret? Vad är och hur karakterisras ett stabilt filter?
Kan du transformera (lösa) "ensidiga" differensekvationer? Vad är ett (fullständigt) ortogonalsystem för L₂(a,b), Fourierkoefficienterna (Fourierserien) för en funktion map ett ortogonalsystem? Satsen om approximation i kvadratiskt medel.

må 8/12: Vi definierar Sturm-Liouville problem som ger fullst. ortogonalsystem och räknar ett exempel som visar hur variabelseparation leder till S-L-problem. BB del1: 1.5
tis 9/12: vi räknar tenta 99-08-17 och 03-04-23 uppg.2. viktigt:
Vad är ett Sturm-Liouville-problem? Vad gäller för ett S-L-problem? Hur funkar variabelseparation (Fouriers Metod)?

 Name                    Last modified       Size  Description










































 Parent Directory        19-Jun-2003 14:51      -

må 27/10: Vi definierar och diskuterar Laplacetrans- formationen: styckvis kontinuerliga f av exponentiell ordning med ändlig impulsdel har en L-transform F och kan återskapas ur F, F är analytisk i ett halvplan, L-transformationen är en lineär avbildning från 'tidsrummet' till 'fasrummet'. Vi ger exempel och börjar med (fysikaliska) regler (dämpningsregel-fördröjningsregel). (LJ, kap5)	viktigt: Hur definieras Laplacetranformen till en funktion? Vilka f kan (kan inte) L-transformeras? Egenskaper av F (analytisk...). Vad menas med ROC(F)? Egenskaper av L-transformation? RÄKNA INSTUDERINGSUPPGIFTERNA (BB), studera sedan de utförliga lösningarna!!
ti 28/10: Vi fortsätter med reglerna (derivering på ena sidan motsvaras av multiplikation med variabeln på andra sidan, integrering motsvaras av division med variabeln), härleder transformationspar och använder L-transfomation för att lösa differentialekvationer (begynnelsevärdesproblem). Sedan börjar vi med distributioner, ett oumbärligt verktyg inte bara för signalbehandling. Vi definierar rummet av testfunktioner. BB del1: 1.1.	viktigt: Kan du härleda och tillämpa reglerna? Kan du transformera (inverstransformera)??? Träna, träna... Vad är en testfunktion?
må 3/11: Vi definierar "distribution" (kontin. funktional på rummet av testfunktionerna). Funktioner kan ses som ("reguljära") distributioner, nytt är däremot Dirac's delta-puls som vi studerar utförligt. Vi definierar derivatan, translationen mm av distributioner och visar bl.a. att Diracpulsen är derivatan av stegfunktionen. LJ kap 3.2, BB del1: 1.1.	viktigt: Vad är en distribution? Vad är Dirac's delta puls? Kan du räkna med den? Hur definieras derivatan av en distribution? Kan du visa att delta pulsen är derivatan av Heavisides stegfunktion?
ti 4/11: Nu börjar vi med Fouriertransformen; en fin motivation för allt fås via Fourierserien för T-periodiska fkt. där perioden T går mot oändligheten. Det mesta liknar Laplacetransformen (reglerna), men nu får vi fysikaliskt intressant information: Fouriertransformen ger den spektrala uppdelningen av en signal, dess amplitud- och fassprektrum, dess spektrala avskärning. Vi exemplifierar allt med fyrkantpulsen. LJ, kap 4, BB del1: 1.2.	viktigt: Kan du motivera Fouriers integralsats utgående från en periodisk funktioner där perioden går mot oändligheten? Hur definieras Fouriertransformen? Hur fås den inversa F-transformen? För vilka funktioner gäller det? (Fouriers integralsats). Vad är amplitudspektrum, fasspektrum resp. den spektrala avskärning av en funktion?
fr 7/11: Vi börjar nu med reglerna: linearitet, konjugatregeln och skalningsregeln, som ger många intressanta transformpar. Vi visar att reellvärda funktioner har jämn amplitudspektrum och udda fasspektrum och får Fouriercosinusintegralen (amplitudfasvinkelformen). Vidare visar vi att "dämpning på ena sidan motsvarar translation på andra sidan".	viktigt: Kan du härleda [F03] tom [F20]? Amplitudfasvinkelform för rellvärda funktioner?
må 10/11: Vi upptäcker den underbara symmetriregeln som ger oss nya transformpar. Vidare visar vi deriveringsreglerna och Plancherels formler som innehåller mycket intressant fysikalisk information. Som repetition visar vi att mer än 90% av fyrkantpulsens totala energi ligger i huvudloben (oberoende av varaktigheten T). Sedan inför vi F-transformationen av distributioner: nu ser vi finessen av valet av testfunktioner: "invariant under F-transformationen". Vi härleder Fourier- transformen av delta, 1, signum och stegfunktionen. BB, del1: 1.1, 1.2. tisd 11/11 visar vi regel 4 (BB, sid 4): om xf=0 så är f en deltapuls, får nya transformpar med distributioner. Vidare ser vi hur bra delta resp. stegfunktionen approximeras av sin spektrala avskärning. Sedan börjar vi med den centrala faltnings - produkten. BB del1: 1.1-1.3.	viktigt: Kan du (använda, härleda) Plancherels formler? Tolkning? Vad är energispektrum, den totala energin, av en signal? Kan du (använda, härleda) symmetriregeln? Hur definieras F-transformen av en distribution? Kan du härleda F-transformen av delta, 1, theta, signum? När gäller f^(w)=F(jw)? Hur definieras faltningen mellan funktioner? Regler?
må 17/11: Vi fortsätter att förundras över denna faltning: derrivering, intergering, translation, spektral avskärning, skalärprodukt, allt detta kan uttryckas med faltning. Och de linjära ekvationer vi behandlar i denna kurs, är faltningsekvationer. Transformer omvandlar denna (ohanterliga) produkt till vanlig multiplikation. Vi visar även sambandet Fourier - och Laplacetransform. tisd 18/11 behandlar vi som viktig tillämpning faltningsekvationer (som kan enkelt lösas med transformation), och därmed har vi börjat med kursens huvudämne: dynamiska system (filter), vi definierar (tidskontinuerligt, tidsdiskret) filter, klargör begreppen in-utsignal (=svar på insignalen). Vi ger exempel på filter (derivering, translation, det ideala lågpassfiltret, RC-, RL-, LC-filtret, hamoniska oscillatorn mm) och ser att alla dessa ges av en faltningsekvation. Sedan definierar vi LTI-filter och visar att det är precis faltningsfiltrena: utsignalen är insignalen faltad med "impulssvaret". fr 21/11: Vi motiverar namnet "filter", bestämmer sinussvaret för LTI-filter och ser att filtrets impulssvar innehåller all information, därför införs begreppen frekvensöverföringsfunktion, amplitud- och faskarakteristik. Vi räknar exempel (RC, RL, LC-filter). Sedan definierar och studerar vi kausalitet, kan för LTI-filter avläsas direkt på impulssvaret. BB del1: 1.3, 1.4.	viktigt: När gäller att L-transfomen (för s=jw) är lika med F-tranformen? Kan du uttrycka derivering, translation mm med hjälp av faltning? Kan du visa att transformationer (Laplace-, Fourier-, senare z-) omvandlar faltningen till vanlig multiplikation? Vad är och hur löses en faltningsekvation? Vad är ett tidskontinuerligt filter, ett tidsdiskret filter? Vad menas med insignal (utsignal)? Vad är ett linjärt filter, ett tidsinvariant filter, ett faltningsfilter? Filtrets tillståndsekvation? Filtrets impulssvar? Stegsvar? Kan du visa att LTI är ekvivalent med att filtret är faltningsfilter? Att derivatan av stegsvaret är impulssvaret i LTI-filter? Vad är sinussvaret i LTI-filter? Vad är frekvensöverföringsfunktion, amplitud- resp. faskarakterisitik för ett filter? Vad är ett kausalt filter?
må 24/11: Vi definierar och studerar stabilitet, även det kan för LTI-filter avläsas på impulssvaret. Till sist behandlar vi kausala LTI-filter vars överföringsfunktion är en rationell funktion (tillståndsekvation en lineär diffekv. med konstanta koeff.). Polerna till H avgör stabilitet. Vi går igenom alla våra exempel.BB del1: 1.4. ti 25/11: Nu börjar vi med diskreta signaler/filter. Det är ren repetition. Först definierar vi tidsdiskret signal (=komplex följd), rummet av diskreta signaler med nedåt begränsat stöd, D-operatorn och z-transformation och ger exempel på transformpar. Sedan visar vi regler för z-transf. (linjearitet, fördröjnings-, dämpnings-, deriveringsregel) och räknar exempel. BB del2: 1.2.	viktigt: vad är ett stabilt filter? Hur kan för LTI-filter kausalitet/stabilitet avgöras m.h.a. impulssvaret? Vilka egenskaper har ett stabilt LTI-filter? Vad är ett filters överföringsfunktion (system funktion)? Hur kan stabilitet avgöras för ett kausalt LTI-filter med rationell överföringsfunktion (algebraiskt)? Vad är en pol? Vad är en tidsdiskret signal? Rummet av signaler med nedåt begränsat stöd (right sided signals)? Bas för detta rum? Hur definieras delay-operatorn D? z-transfom? Vad är ROC(X)? Kan du härleda z-transf. av enhetssteget, enhetspulsen mm? Kan du (härleda) reglerna för z-tarnsformstion?
må 1/12: Vi definierar faltningen och visar att den är en kommutativ produkt med etta och omvandlas av z-transf. till vanlig multiplikation. Efter några exempel börjar vi med "diskreta filter": vi definierar LTI-filter, kausalt filter, impulssvar, system function. Vi visar "LTI-filter =faltningsfilter" och karakterisar kausala filter. ti 2/12: vi definierar och karakteriserar stabila filter, speciellt filter vars överföringsfunktion är en rationell funktion (= de filter som ges av en differensekvation). Sinussvaret bestäms. Sedan behandlar vi differensekvationer, bl.a. får vi de berömda Fibonaccitalen. BB del2: 1.2, 1.3, 1.4. fr 5/12: Vi studerar F-serier av periodiska distributioner (samplingståget), ortogonalsystem för L₂-rum och Fourierserier m.a.p. ortogonalsystem (ger bästa approximationen) och visar samplingsteoremet och Poissons summationsformel. BB del1: 1.5, sats 2.4, del2: 2.5	viktigt: Hur definieras faltning av sekvenser? Kan du visa att z-transf. omvandlar faltningen till en vanlig multiplikation? Vad är ett tidsdiskret filter? Ett linjärt, ett tidsivariant, ett kausalt filter? Filtrets överföringsfunktion (system function)? Kan du visa att ett filter är LTI om och endast om det är ett faltningsfilter? Vadd är ett stabilt filter? Hur visas kausalitet, stabilitet? Kan du sinussvaret? Vad är och hur karakterisras ett stabilt filter? Kan du transformera (lösa) "ensidiga" differensekvationer? Vad är ett (fullständigt) ortogonalsystem för L₂(a,b), Fourierkoefficienterna (Fourierserien) för en funktion map ett ortogonalsystem? Satsen om approximation i kvadratiskt medel.
må 8/12: Vi definierar Sturm-Liouville problem som ger fullst. ortogonalsystem och räknar ett exempel som visar hur variabelseparation leder till S-L-problem. BB del1: 1.5 tis 9/12: vi räknar tenta 99-08-17 och 03-04-23 uppg.2.	viktigt: Vad är ett Sturm-Liouville-problem? Vad gäller för ett S-L-problem? Hur funkar variabelseparation (Fouriers Metod)?