Matematiska metoder, fk, del B, transformer, tma980, tmv070, 3p, ht 2005

Här finns all information och allt utdelat material till kursen.
Kort kursbeskrivning samt planering finns på schemat, utförlig kursbeskrivning se nedan.

Kursansvarig:   Bernhard Behrens, tel 772 3537
                           Mottagning: måndagar 12.30-13.00 (matem. centrum, rum 1239)
                           Extramottagning: ons 14/12 kl. 12-14

övningsledare: grupp A: Bernhard Behrens (772 3537)
grupp B: Jan Stevens (7725345)
grupp C: Håkan Andreasson (772 5330)

SI (EG 1-4):     onsd 8-10 (Fredrik Björndahl, Erik Steinmetz), fredag 13-15 (David Eklöv, Johan Engström)
                         (aktivt deltagande ger 1 BP på årets tentor)

TENTOR:       övningstenta: lö 19/11, kl. 8.30-10.30 (den går t.o.m. faltning,
                         räkna gamla övningstentor); ges tillbaka 22/11 kl. 8.45 i HB3 (här finns tesen med lösningarna)
                         ordinarie tenta: fredag, 16/12, 14.00-18.00, i V.
                        Tentan är rättad (05-12-27), hämta ut den (från expeditionen, MV, kl. 8.30-13.00)! Resultat
                         omtentamen 1: ons 06-04-19, 14.00-18.00 i V
                         omtentamen 2: 06-08-22 14.00-18.00 i V
                         omtentamen 3: 07-08-20 14.00-18.00 (VV)
                         omtentamen 4: 08-03-26 14.00-18.00 (V)
                         omtentamen 5: 08-08-27 fm (M):
                       SISTA TENTAMEN: 09-01-16, kl. 14-18 (V)

Rättelse: I svaret till uppg. D1.c (BB, sid 18) fattas faktorn e^-x vid theta(x)-termen.
OBS:

Från och med i höst är det enligt beslut (Diarienr C 2005/513)
obligatoriskt för studenterna att anmäla sig till tentamen.
Anmälan sker via en funktion i Studieportalen, länk finns på förstasidan 
och i Personlig information.

Utdelat material:
schema
formelblad (det delas ut på tentan och får användas på tentan)
svar till ST (Serier and Transforms)
exempel på tidskontinuerliga filter
repetitionsfrågor
gamla tentor (med svar, en med hel lösning; på utdelad pappersversion är det fel i
lösningen till uppg. 1a: rätt vore Rea>0)
exempel till samlingsteoremet
datorlaborationer
maple-exempel (*.mws-fil, ladda ner den och kör den i maple)

Dag-för-dag-planering (ST = series and transforms av G. James, BB = transformer (kompendium) av B. Behrens)

må 24/10: Vi definierar och diskuterar Laplacetransformationen: styckvis kontinuerliga f av exponentiell ordning med ändlig impulsdel har en L-transform F och kan återskapas ur F, F är analytisk i ett halvplan, L-transformationen är en lineär avbildning från 'tidsrummet' till 'fasrummet'. Vi ger exempel och börjar med (fysikaliska) regler (dämpningsregel-fördröjningsregel). (ST topic 2) viktigt:
Hur definieras Laplacetranformen till en funktion? Vilka f kan (kan inte) L-transformeras? Vad är en funktion av exponentiell ordning? Egenskaper av F (analytisk...). Vad menas med ROC(F)? Egenskaper av L-transformation?
RÄKNA INSTUDERINGSUPPGIFTERNA (BB), studera sedan de utförliga lösningarna!!

ti 25/10: Vi fortsätter med reglerna (derivering på ena sidan motsvaras av multiplikation med variabeln på andra sidan, integrering motsvaras av division med variabeln), härleder transformpar och använder L-transfomation för att lösa differentialekvationer (begynnelsevärdesproblem). Sedan börjar vi med distributioner, ett oumbärligt verktyg inte bara för signalbehandling. (BB del1: 1). viktigt:
Kan du transformera (inverstransformera)? Kan du härleda och tillämpa reglerna (t.ex. på att lösa begynnelsevärdesproblem)? Träna, träna!!!

må 1/11: Vi definierar rummet av testfunktioner; en (tempererad) distribution är en (kontinuerlig) funktional på rummet av testfunktionerna. Funktioner kan ses som ("reguljära") distributioner, nytt är däremot Dirac's deltapuls som vi studerar utförligt och ger fysikaliska exempel på, vidare definierar vi svag konvergens, derivatan, translationen mm av en distribution och visar bl.a. att Diracpulsen är derivatan av stegfunktionen.
(BB del1: 1). viktigt:
Vad är en testfunktion? Vad är en distribution? Vad är Dirac's deltapuls? Kan du räkna med den? Hur definieras derivatan av en distribution? Kan du visa att deltapulsen är derivatan av Heavisides stegfunktion? Vad är svag konvergens?
Läs ST 2.5 och repetera Fourierserier (på komplex form) ST 4.6 !!!

ti 1/11: Vi börjar med Fouriertransformen; en fin motivation för allt fås via Fourierserien för T-periodiska fkt. där perioden T går mot oändligheten. Det mesta liknar Laplacetransformen (reglerna), vi får dock ny fysikaliskt intressant information: Fouriertransformen ger den spektrala uppdelningen av en signal, dess amplitud- och fasspektrum, dess spektrala avskärning. Vi exemplifierar allt med fyrkantpulsen. (ST topic 5, BB del1: 2). viktigt:
Kan du motivera Fouriers integralsats utgående från en periodisk funktioner där perioden går mot oändligheten? Hur definieras Fouriertransformen? Hur fås den inversa F-transformen? För vilka funktioner gäller det? (Fouriers integralsats). Vad är amplitudspektrum, fasspektrum resp. den spektrala avskärning av en funktion?

fr 4/11: Vi sambandet mellan Fourier och Laplacetransformen. Sedan börjar vi med reglerna: linearitet, konjugatregeln och skalningsregeln som ger många intressanta transformpar. Vi visar att reellvärda funktioner har jämn amplitudspektrum och udda fasspektrum och får Fouriercosinusintegralen (amplitudfasvinkelformen). Vidare visar vi symmetriregeln som ger nya transformpar. (ST 5.4)
viktigt:
När gäller att L-transformen (med s=jw) är lika med F-transfomen (dvs att f^(w)=F(jw))? Kan du härleda [F03] tom [F20]? Amplitudfasvinkelform för rellvärda funktioner? Kan du (använda, härleda) symmetriregeln?

må 7/11: Vi visar att "dämpning på ena sidan motsvarar translation på andra sidan", att "derivering på ena sidan innebär multiplikation med variabeln på andra sidan" och Plancherels formler som innehåller mycket intressant fysikalisk information. Som repetition visar vi att mer än 90% av fyrkant- pulsens totala energi ligger i huvudloben (oberoende av varaktigheten T). (ST 5.3)
viktigt:
Kan du (använda, härleda) Plancherels formler? Tolkning? Vad är energispektrum, den totala energin, av en signal? Hur definieras F-transformen av en distribution?

tisd 8/11: Vi inför vi F-transformationen av distributioner: nu ser vi finessen med valet av testfunktioner: "invariant under F-transformationen". Vi härleder Fouriertransformen av delta, 1, signum och stegfunktionen. Vi ser hur bra delta resp. stegfunktionen approximeras av sin spektrala avskärning. Sedan börjar vi med den centrala faltningsprodukten: en kommutativ produkt med etta (delta!). (BB del1: 1, 2, 3, ST 5.5) viktigt:
Kan du härleda F-transformen av delta, 1, theta, signum?
Kan du regeln 4 (BB, sid 4): om xf=0 så är f en deltapuls?! Vad är en (absolut integrerbar, eller styckvis deriverbar, eller ...) funktion med ändlig impulsdel? Hur definieras faltningen av två funktioner?

må 14/11: Vi ser: derivering, integrering, translation, spektral avskärning och skalärprodukt kan uttryckas som faltning. Transformer omvandlar denna (ohanterliga) produkt till vanlig multiplikation. De linjära ekvationer vi behandlar i denna kurs, är faltningsekvationer som enkelt kan lösas med transformation. Därmed har vi börjat med kursens huvudämne: dynamiska system (filter). Vi definierar (tidskontinuerligt, tidsdiskret) filter, klargör begreppen in-utsignal (=svar på insignalen).
(BB del1: 3, 4) viktigt:
Kan du uttrycka derivering, translation, integrering mm med hjälp av faltning? Kan du visa att transformationer (Laplace-, Fourier-, senare z-) omvandlar faltningen till vanlig multiplikation? Vad är och hur löses en faltningsekvation? Vad är ett tidskontinuerligt filter, ett tidsdiskret filter? Vad menas med insignal (utsignal)?

tisd 15/11: Vi ger exempel på filter (derivering, integrering, translation, det ideala lågpassfiltret, RC-, RL-, LC-filtret och hamoniska oscillatorn). Alla dessa filter ges av en faltningsekvation. Sedan definierar vi LTI-filter och visar att det är precis faltningsfiltren: utsignalen är insignalen faltad med "impulssvaret". LTI-filter har många fina egenskaper, vi sysslar bara med sådana. Vi visar att pulssvaret är derivatan av stegsvaret och härledar sinussvaret. (BB del1: 4). viktigt:
Vad är ett linjärt filter, ett tidsinvariant filter, ett faltningsfilter? Filtrets tillståndsekvation? Filtrets impulssvar? Stegsvar? Kan du visa att LTI är ekvivalent med att filtret är faltningsfilter? Att derivatan av stegsvaret är impulssvaret i LTI-filter? Vad är sinussvaret i LTI-filter?

fr 18/11: Vi motiverar namnet "filter", ser att filtrets impulssvar innehåller all information och inför begreppen frekvensöverföringsfunktion, amplitud- och faskarakteristik. Vi räknar exempel (RC, RL, LC-filter). Sedan definierar och studerar vi kausalitet och stabilitet, kan för LTI-filter avläsas direkt på impulssvaret.
(BB del1: 4, ST 5.4). viktigt:
Vad är frekvensöverföringsfunktion (frequency respons), amplitud- resp. faskarakterisitik för ett filter? Vad är ett kausalt filter? Vad är ett (BIBO-) stabilt filter? Hur kan för LTI-filter kausalitet/stabilitet avgöras m.h.a. impulssvaret?

må 21/11: Vi karakteriserar stabila LTI-filter och behandlar kausala LTI-filter vars överföringsfunktion är en rationell funktion (tillståndsekvation en lineär diffekv. med konstanta koeff.). Polerna till H avgör stabilitet. Vi går igenom alla våra exempel. (BB del1: 4, ST 2.6, 2.7). viktigt:
Vilka egenskaper har ett stabilt LTI-filter? Vad är ett filters överförings- funktion (system function)? Hur kan stabilitet avgöras för ett kausalt LTI-filter med rationell överföringsfunktion (algebraiskt)? Vad är en pol?

ti 22/11: Vi börjar med diskreta signaler/filter. Det är ren repetition. Först definierar vi tidsdiskret signal (=komplex följd), rummet av diskreta signaler med nedåt begränsat stöd, D-operatorn och z-transformation och ger exempel på transformpar. Sedan visar vi regler för z-transf. (linjearitet, fördröjnings-, dämpnings-, deriveringsregel) och räknar exempel. (BB del2: 1, 2, ST topic 3). viktigt:
Vad är en tidsdiskret signal? Rummet av signaler med nedåt begränsat stöd (right sided signals)? Bas för detta rum? Hur definieras delay-operatorn D? z-transfom? Vad är ROC(X)? Kan du härleda z-transf. av enhetssteget, enhetspulsen mm? Kan du (härleda) reglerna för z-transformation?

må 28/11: Vi definierar faltningen för sekvenser och visar att den är en kommutativ produkt med etta, att summation och tidsfördröjning kan uttryckas m.h.a. faltning och att z-transformationen omvandlar faltning till vanlig multiplikation. Sedan börjar vi med "diskreta filter": vi definierar LTI-filter, kausalt filter, stabilt filter, impulssvar, system function. Vi visar "LTI-filter =faltningsfilter" och karakterisar kausala och stabila LTI-filter. (BB del2: 2, 3, ST 3.6) viktigt:
Hur definieras faltning av sekvenser? Kan du visa att z-transf. omvandlar faltningen till en vanlig multiplikation? Vad är ett tidsdiskret filter? Ett linjärt, ett tidsivariant, ett kausalt filter? Filtrets överföringsfunktion (system function)? Kan du visa att ett filter är LTI om och endast om det är ett faltningsfilter? Vad är ett stabilt filter? Hur visas kausalitet, stabilitet?

ti 29/11: Vi bestämmer sinussvaret och karakteriserar kausala och stabila filter, vars överföringsfunktion är en rationell funktion (= de filter som ges av en differensekvation) och behandlar differensekvationer och visar formeln för ensidig z-transfomtion.
(BB del2: 3, 4, ST 3.5). viktigt:
Kan du sinussvaret? Hur karakteriseras stabilt hos ett filter med rationell överföringsfunktion? Kan du transformera (lösa) "ensidiga" differensekvationer?

fr 2/12: Vi löser den differensekvation som ger de berömda Fibonaccitalen. Sedan studerar vi F-serier av periodiska distributioner (samplingståget), ortogonalsystem för L²-rum och Fourierserier m.a.p. ortogonalsystem (ger bästa approximationen) och visar samplingsteoremet
(BB del1: 5, del2: 5) viktigt:
Vad är samplingståget? Dess F-serie? Vadger det? Vad är ett (fullständigt) ortogonalsystem för L²(a,b), Fourierkoefficienterna (Fourierserien) för en funktion m.a.p. ett ortogonalsystem? Satsen om approximation i kvadratiskt medel?

må 5/12: Vi definierar Sturm-Liouville problem som ger fullst. ortogonalsystem och räknar ett exempel som visar hur variabelseparation leder till S-L-problem.(BB del1: 5)
ti 6/12: Vi räknar tentan 99-08-17. viktigt:
Vad är ett Sturm-Liouville-problem? Vad gäller för ett S-L-problem? Hur funkar variabelseparation (Fouriers metod)?

 Name                    Last modified       Size  Description

 Parent Directory

må 24/10: Vi definierar och diskuterar Laplacetransformationen: styckvis kontinuerliga f av exponentiell ordning med ändlig impulsdel har en L-transform F och kan återskapas ur F, F är analytisk i ett halvplan, L-transformationen är en lineär avbildning från 'tidsrummet' till 'fasrummet'. Vi ger exempel och börjar med (fysikaliska) regler (dämpningsregel-fördröjningsregel). (ST topic 2)	viktigt: Hur definieras Laplacetranformen till en funktion? Vilka f kan (kan inte) L-transformeras? Vad är en funktion av exponentiell ordning? Egenskaper av F (analytisk...). Vad menas med ROC(F)? Egenskaper av L-transformation? RÄKNA INSTUDERINGSUPPGIFTERNA (BB), studera sedan de utförliga lösningarna!!
ti 25/10: Vi fortsätter med reglerna (derivering på ena sidan motsvaras av multiplikation med variabeln på andra sidan, integrering motsvaras av division med variabeln), härleder transformpar och använder L-transfomation för att lösa differentialekvationer (begynnelsevärdesproblem). Sedan börjar vi med distributioner, ett oumbärligt verktyg inte bara för signalbehandling. (BB del1: 1).	viktigt: Kan du transformera (inverstransformera)? Kan du härleda och tillämpa reglerna (t.ex. på att lösa begynnelsevärdesproblem)? Träna, träna!!!
må 1/11: Vi definierar rummet av testfunktioner; en (tempererad) distribution är en (kontinuerlig) funktional på rummet av testfunktionerna. Funktioner kan ses som ("reguljära") distributioner, nytt är däremot Dirac's deltapuls som vi studerar utförligt och ger fysikaliska exempel på, vidare definierar vi svag konvergens, derivatan, translationen mm av en distribution och visar bl.a. att Diracpulsen är derivatan av stegfunktionen. (BB del1: 1).	viktigt: Vad är en testfunktion? Vad är en distribution? Vad är Dirac's deltapuls? Kan du räkna med den? Hur definieras derivatan av en distribution? Kan du visa att deltapulsen är derivatan av Heavisides stegfunktion? Vad är svag konvergens? Läs ST 2.5 och repetera Fourierserier (på komplex form) ST 4.6 !!!
ti 1/11: Vi börjar med Fouriertransformen; en fin motivation för allt fås via Fourierserien för T-periodiska fkt. där perioden T går mot oändligheten. Det mesta liknar Laplacetransformen (reglerna), vi får dock ny fysikaliskt intressant information: Fouriertransformen ger den spektrala uppdelningen av en signal, dess amplitud- och fasspektrum, dess spektrala avskärning. Vi exemplifierar allt med fyrkantpulsen. (ST topic 5, BB del1: 2).	viktigt: Kan du motivera Fouriers integralsats utgående från en periodisk funktioner där perioden går mot oändligheten? Hur definieras Fouriertransformen? Hur fås den inversa F-transformen? För vilka funktioner gäller det? (Fouriers integralsats). Vad är amplitudspektrum, fasspektrum resp. den spektrala avskärning av en funktion?
fr 4/11: Vi sambandet mellan Fourier och Laplacetransformen. Sedan börjar vi med reglerna: linearitet, konjugatregeln och skalningsregeln som ger många intressanta transformpar. Vi visar att reellvärda funktioner har jämn amplitudspektrum och udda fasspektrum och får Fouriercosinusintegralen (amplitudfasvinkelformen). Vidare visar vi symmetriregeln som ger nya transformpar. (ST 5.4)	viktigt: När gäller att L-transformen (med s=jw) är lika med F-transfomen (dvs att f^(w)=F(jw))? Kan du härleda [F03] tom [F20]? Amplitudfasvinkelform för rellvärda funktioner? Kan du (använda, härleda) symmetriregeln?
må 7/11: Vi visar att "dämpning på ena sidan motsvarar translation på andra sidan", att "derivering på ena sidan innebär multiplikation med variabeln på andra sidan" och Plancherels formler som innehåller mycket intressant fysikalisk information. Som repetition visar vi att mer än 90% av fyrkant- pulsens totala energi ligger i huvudloben (oberoende av varaktigheten T). (ST 5.3)	viktigt: Kan du (använda, härleda) Plancherels formler? Tolkning? Vad är energispektrum, den totala energin, av en signal? Hur definieras F-transformen av en distribution?
tisd 8/11: Vi inför vi F-transformationen av distributioner: nu ser vi finessen med valet av testfunktioner: "invariant under F-transformationen". Vi härleder Fouriertransformen av delta, 1, signum och stegfunktionen. Vi ser hur bra delta resp. stegfunktionen approximeras av sin spektrala avskärning. Sedan börjar vi med den centrala faltningsprodukten: en kommutativ produkt med etta (delta!). (BB del1: 1, 2, 3, ST 5.5)	viktigt: Kan du härleda F-transformen av delta, 1, theta, signum? Kan du regeln 4 (BB, sid 4): om xf=0 så är f en deltapuls?! Vad är en (absolut integrerbar, eller styckvis deriverbar, eller ...) funktion med ändlig impulsdel? Hur definieras faltningen av två funktioner?
må 14/11: Vi ser: derivering, integrering, translation, spektral avskärning och skalärprodukt kan uttryckas som faltning. Transformer omvandlar denna (ohanterliga) produkt till vanlig multiplikation. De linjära ekvationer vi behandlar i denna kurs, är faltningsekvationer som enkelt kan lösas med transformation. Därmed har vi börjat med kursens huvudämne: dynamiska system (filter). Vi definierar (tidskontinuerligt, tidsdiskret) filter, klargör begreppen in-utsignal (=svar på insignalen). (BB del1: 3, 4)	viktigt: Kan du uttrycka derivering, translation, integrering mm med hjälp av faltning? Kan du visa att transformationer (Laplace-, Fourier-, senare z-) omvandlar faltningen till vanlig multiplikation? Vad är och hur löses en faltningsekvation? Vad är ett tidskontinuerligt filter, ett tidsdiskret filter? Vad menas med insignal (utsignal)?
tisd 15/11: Vi ger exempel på filter (derivering, integrering, translation, det ideala lågpassfiltret, RC-, RL-, LC-filtret och hamoniska oscillatorn). Alla dessa filter ges av en faltningsekvation. Sedan definierar vi LTI-filter och visar att det är precis faltningsfiltren: utsignalen är insignalen faltad med "impulssvaret". LTI-filter har många fina egenskaper, vi sysslar bara med sådana. Vi visar att pulssvaret är derivatan av stegsvaret och härledar sinussvaret. (BB del1: 4).	viktigt: Vad är ett linjärt filter, ett tidsinvariant filter, ett faltningsfilter? Filtrets tillståndsekvation? Filtrets impulssvar? Stegsvar? Kan du visa att LTI är ekvivalent med att filtret är faltningsfilter? Att derivatan av stegsvaret är impulssvaret i LTI-filter? Vad är sinussvaret i LTI-filter?
fr 18/11: Vi motiverar namnet "filter", ser att filtrets impulssvar innehåller all information och inför begreppen frekvensöverföringsfunktion, amplitud- och faskarakteristik. Vi räknar exempel (RC, RL, LC-filter). Sedan definierar och studerar vi kausalitet och stabilitet, kan för LTI-filter avläsas direkt på impulssvaret. (BB del1: 4, ST 5.4).	viktigt: Vad är frekvensöverföringsfunktion (frequency respons), amplitud- resp. faskarakterisitik för ett filter? Vad är ett kausalt filter? Vad är ett (BIBO-) stabilt filter? Hur kan för LTI-filter kausalitet/stabilitet avgöras m.h.a. impulssvaret?
må 21/11: Vi karakteriserar stabila LTI-filter och behandlar kausala LTI-filter vars överföringsfunktion är en rationell funktion (tillståndsekvation en lineär diffekv. med konstanta koeff.). Polerna till H avgör stabilitet. Vi går igenom alla våra exempel. (BB del1: 4, ST 2.6, 2.7).	viktigt: Vilka egenskaper har ett stabilt LTI-filter? Vad är ett filters överförings- funktion (system function)? Hur kan stabilitet avgöras för ett kausalt LTI-filter med rationell överföringsfunktion (algebraiskt)? Vad är en pol?
ti 22/11: Vi börjar med diskreta signaler/filter. Det är ren repetition. Först definierar vi tidsdiskret signal (=komplex följd), rummet av diskreta signaler med nedåt begränsat stöd, D-operatorn och z-transformation och ger exempel på transformpar. Sedan visar vi regler för z-transf. (linjearitet, fördröjnings-, dämpnings-, deriveringsregel) och räknar exempel. (BB del2: 1, 2, ST topic 3).	viktigt: Vad är en tidsdiskret signal? Rummet av signaler med nedåt begränsat stöd (right sided signals)? Bas för detta rum? Hur definieras delay-operatorn D? z-transfom? Vad är ROC(X)? Kan du härleda z-transf. av enhetssteget, enhetspulsen mm? Kan du (härleda) reglerna för z-transformation?
må 28/11: Vi definierar faltningen för sekvenser och visar att den är en kommutativ produkt med etta, att summation och tidsfördröjning kan uttryckas m.h.a. faltning och att z-transformationen omvandlar faltning till vanlig multiplikation. Sedan börjar vi med "diskreta filter": vi definierar LTI-filter, kausalt filter, stabilt filter, impulssvar, system function. Vi visar "LTI-filter =faltningsfilter" och karakterisar kausala och stabila LTI-filter. (BB del2: 2, 3, ST 3.6)	viktigt: Hur definieras faltning av sekvenser? Kan du visa att z-transf. omvandlar faltningen till en vanlig multiplikation? Vad är ett tidsdiskret filter? Ett linjärt, ett tidsivariant, ett kausalt filter? Filtrets överföringsfunktion (system function)? Kan du visa att ett filter är LTI om och endast om det är ett faltningsfilter? Vad är ett stabilt filter? Hur visas kausalitet, stabilitet?
ti 29/11: Vi bestämmer sinussvaret och karakteriserar kausala och stabila filter, vars överföringsfunktion är en rationell funktion (= de filter som ges av en differensekvation) och behandlar differensekvationer och visar formeln för ensidig z-transfomtion. (BB del2: 3, 4, ST 3.5).	viktigt: Kan du sinussvaret? Hur karakteriseras stabilt hos ett filter med rationell överföringsfunktion? Kan du transformera (lösa) "ensidiga" differensekvationer?
fr 2/12: Vi löser den differensekvation som ger de berömda Fibonaccitalen. Sedan studerar vi F-serier av periodiska distributioner (samplingståget), ortogonalsystem för L²-rum och Fourierserier m.a.p. ortogonalsystem (ger bästa approximationen) och visar samplingsteoremet (BB del1: 5, del2: 5)	viktigt: Vad är samplingståget? Dess F-serie? Vadger det? Vad är ett (fullständigt) ortogonalsystem för L²(a,b), Fourierkoefficienterna (Fourierserien) för en funktion m.a.p. ett ortogonalsystem? Satsen om approximation i kvadratiskt medel?
må 5/12: Vi definierar Sturm-Liouville problem som ger fullst. ortogonalsystem och räknar ett exempel som visar hur variabelseparation leder till S-L-problem.(BB del1: 5) ti 6/12: Vi räknar tentan 99-08-17.	viktigt: Vad är ett Sturm-Liouville-problem? Vad gäller för ett S-L-problem? Hur funkar variabelseparation (Fouriers metod)?