LMA200, Analys. Läsanvisningar

Kapitel 1

1.1

Intervallbeteckningarna kommer vi att använda ofta.

1.2

Det mesta här borde vara välbekant. I analysen är man ofta inte så noga med att ange definitionsmängden utan ger en formel, och om ingenting annat sägs så är definitionsmängden den största delmängd av R där formeln fungerar.

1.3

Absolutbelopp har vi redan mött både för komplexa tal och vektorer, i vilka fall namnet på triangelolikheten är lätt att förstå geometriskt. För reella tal är den närmast trivial (och följer förstås också från att den gäller för komplexa tal, men det får ses som en omväg!) men vi kommer att använda den ofta. När det gäller att behandla uttryck av typen |f(x)|, kom ihåg att det är tecknet på f(x), inte på x, som avgör om det är lika med f(x) eller -f(x).

1.4

Ingenting nytt här. Graferna på s. 48-49 kan kanske vara värda att titta litet på. Räta linjens ekvation skall man naturligtvis kunna fram- och baklänges; finns också i avsnitt 0.5.

1.5

Även rationella funktioner - kvot mellan polynom - har vi mött i viss mån, men graferna s. 67-68 är värda att studera. Vi kommer att göra det mer i detalj efter att ha infört gränsvärde och derivata.

1.6

Definitionen av a^b, a positivt och b godtyckligt reellt, sker i flera steg s. 69-70. Här saknas egentligen ett bevis för x^q -> oo då x -> oo men vi avstår liksom boken.
Egenskaperna (22)-(26) skall man vara klar över; (22)-(24) är självklara när exponenterna är positiva heltal, vilket kan vara en hjälp att komma ihåg dem.
Skilj mellan potensfunktioner - variabel bas, konstant exponent - och exponentialfunktioner - vice versa.
Beviset av (28) skall man kunna liksom Sats 8 med bevis.

1.7

Logaritmfunktioner definieras som invers till exponentialfunktioner, även om begreppet invers funktion inte kommer förrän i nästa avsnitt. Logaritmlagarna (34)-(37) är direkta följder av potenslagar; genomför beviset av (37) på liknande sätt som boken bevisar (35). Sats 10 är en direkt följd av Sats 8; storleksordningen i oändligheten mellan logaritm-, potens- och exponentialfunktion skall man kunna.
Jag tycker att boken kunde nöjt sig med den naturliga logaritmfunktionen och du får gärna tänka på ln när det står ^alog. Egenskapen (38) visar att alla logaritmfunktioner kan uttryckas m.hj.a. ln.
1.7.4 kan du läsa kursivt; begreppen pH och decibel tillhör allmänbildningen.

1.8

1.8.1 generaliserar proceduren i 1.7 till invers funktion i allmänhet. Att beräkna inversen till f (om den finns) gör man genom att lösa ekvationen f(x) = s med avseende på x; om den ekvationen inte är entydigt lösbar så är f inte inverterbar. Sedan är det en annan sak att det inte alltid går att bestämma ett uttryck för lösningen till ekvationen även om man kan bevisa att f är injektiv.
Sammansättning av funktioner kommer vi ständigt att möta; i Ex. 41 har vi rot(x²). Glöm aldrig att den är lika med |x| ! Det är lätt att göra det i "stridens hetta" (som du nog skall se längre fram!).
Terminologin i 1.8.3 kommer vi ständigt att använda.

1.9

Mycket av detta är repetition. Man bör vara säker på de trigonometriska funktionernas värden enligt tabellerna på s. 97 och 98; de senare kanske inte nödvändigtvis som minneskunskap utan som resultat av användning av halv kvadrat och halv liksidig triangel. Grunden för de trigonometriska funktionerna är dock enhetscirkeln enligt def. s. 97.
Det finns "hur många formler som helst" för de trigonometriska funktionerna men de är långt ifrån oberoende av varandra, så ur ett relativt fåtal kan man härleda de andra.
Trig.ettan (47), komplementvinkelformeln (52) och additionsformeln (56) är ett absolut minimum av vad man skall kunna; (56) visas lättast i form av (54). Det är relativt enkelt att översätta mellan formlerna (54)-(57) m.hj.a. (52) och att byta y mot -y. (58)-(61) är också bra att kunna (och är lätta att härleda).
Omskrivningen av (66) enl. s. 106, hjälpvinkelmetoden, skall du kunna.
Av tangens och cotangens är tangens klart viktigast; cotangens är bara dess inverterade värde.
Sats 13, 14 och ex. 55 är viktiga.

1.10

De trigonometriska funktionerna är inte inverterbara, men med lämpliga inskränkningar av deras definitionsmängder blir de det. Mest använda är arcsin och arctan.
Observera noga (72) och (73) och motsvarande samband för övriga arcusfunktioner. arcsin(sin(x)) är definierat för alla x men är bara lika med x i intervallet [-pi/2, pi/2], medan sin(arcsin(x)) är lika med x överallt där det är definierat.

1.11

De hyperboliska funktionerna definieras enkelt ur exponentialfunktionen och är praktiska i vissa tillämpningar och har en del egenskaper liknande dem som trig.funktionerna har, t.ex. hyperboliska ettan (77) och additionsformler.