LMA200, Analys. Läsanvisningar

Kapitel 2

2.1

Här ges definitionen av gränsvärde i flera olika situationer. I samtliga fall handlar det om att f(x) kan göras så nära sitt gränsvärde som man önskar bara x görs tillräckligt nära sin gränspunkt eller oo, där "nära oo" betyder "stort". Samma princip gäller även för oegentliga gränsvärden, oo eller -oo.
Vi har redan mött några gränsvärden i kapitel 1 men gör nu en mer systematisk genomgång. För beräkning av gränsvärden har man gränsvärdesreglerna i Sats 1-5 och en lista på "standardgränsvärden"; en lista kommer i 2.4 men vi har redan sett några av dessa i kapitel 1, satserna 8, 10 och 14. Ex. 8 s. 140 är ytterligare en variant på gränsvärdet i sats 1.8 (och 1.10).

2.2

Kontinuitet är en mycket viktig egenskap hos en funktion och kan beskrivas som att en liten förändring av variabelvärdet bara ger en liten förändring av funktionsvärdet.
Ex. 13 ger två nya standardgränsvärden, och att x^x -> 1 då x -> 0+ (Ex. 14) skall man också känna till.
De viktiga egenskaperna (14) och (15) s. 148-149 kan sammanfattas: Värdemängden till en kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall är ett slutet begränsat intervall.

2.3

Talet e definieras som gränsvärde av en talföljd; sats 7 ger några varianter av denna definition. Egenskapen (16) som är karakteristisk för de reella talen brukar kallas supremumaxiomet.
Sats 8 ger en förklaring till varför basen e för logaritm- och exponentialfunktion är så praktisk: med en annan bas a blir dessa gränsvärden 1/ln a resp. ln a.

2.4

Ger som utlovat en lista på standardgränsvärden; endast (33) och (34) är nya.

2.5.1-3

Några användningar av gränsvärden. Att beräkna asymptoter brukar ingå i konstruktion av funktionskurvor, vilket vi skall ägna oss åt mer när vi infört derivatabegreppet, vilket även gäller iterativ lösning av ekvationer där vi senare skall möta Newton-Raphsons metod.