LMA200, Analys. Läsanvisningar

Kapitel 3

3.1

Derivatabegreppet är centralt och motiveras ofta (som här) med ögonblicklig (tillväxt)hastighet (vad visar hastighetsmätaren?) eller tangent till funktionskurva.

3.2

Derivatans definition måste man naturligtvis kunna. De flesta derivator kommer vi att beräkna med hjälp av deriveringsregler och standardderivator, men i vissa lägen kan man bli tvungen att gå tillbaka till definitionen.
En första standardderivata härleds i Ex. 4; vi skall senare se att samma formel gäller även om n inte är ett positivt heltal. Ex. 3 är f.ö. fallet n = 1/2.
Användningen av derivata för att beräkna tangent och normal till en funktionskurva som i ex. 5 och 6 är fundamental. Derivatan till en funktion är själv en funktion som kan vara deriverbar, vilket leder till andraderivata (och så vidare, men det är främst första och andra derivata som vi använder).

3.3

Eftersom nämnaren i differenskvoten går mot 0 måste även täljaren göra det om derivatan existerar, vilket är innehållet i sats 1.
Deriveringsreglerna (4) och (5) säger att derivering är en linjär operator, (6) är produktregeln och (7) är kvotregeln; var noga med tecknet i den sistnämnda!
Kedjeregeln är litet mer komplicerad, i synnerhet manövern i beviset för att undvika division med 0. Dock är principen inte svår - om en funktion är sammansatt av flera steg så är dess derivata lika med produkten av de olika stegens derivator. Tänker man på derivata som skalförändring är detta intuitivt klart, vilket f.ö. också gäller derivatan av invers funktion; det som inte utan vidare är klart i det sista fallet är att inversen (om den existerar) till en deriverbar funktion är deriverbar.

3.4

Nu härleder vi de elementära funktionernas derivator.
Polynom och rationella funktioner klarar man med den kända derivatan av xⁿ och deriveringsregler.
Exponentialfunktionens resp. logaritmfunktionens derivata erhålles m.hj.a. standardgränsvärdena i Sats 2.8 s. 154, och ur dem härleds derivatan av den allmänna potensfunktionen.
Sinusfunktionens derivata härleds m.hj.a. en trig. formel och standardgränsvärdet lim_x -> 0 sin x  / x = 1. Ur den får man cosinusfunktionens derivata genom en enkel omskrivning och tangensfunktionens ur dessa och kvotregeln samt trig.ettan; ibland är det dock fördelaktigt att skriva tangensfunktionens derivata som 1 + tan² x vilket vi skall se när vi närmast härleder arcusfunktionernas derivator m.hj.a. regeln för derivata av invers funktion.
De hyperboliska funktionernas derivator är enkla konsekvenser av definitionerna och exponentialfunktionens derivata.

3.5

Två huvudpunkter:

• En inre extrempunkt för en deriverbar funktion är stationär eller kritisk, dvs derivatan är 0 där.
• Medelvärdessatsen med dess konsekvenser: om derivatan är 0 i ett intervall så är funktionen konstant där; om derivatan är positiv i ett intervall så är funktionen strängt växande där. En intuitiv tolkning av medelvärdessatsen är att medelhastigheten under en färd måste överensstämma med den ögonblickliga hastigheten vid något tillfälle under färden.
  Observera att satsen om mellanliggande värden är något annat (s. 148-149).

3.6

Vi har redan något berört detta; läs t.o.m. s. 208.

3.8

Handlar om hur man trots allt kan uppfatta dy/dx som en kvot; inte minst fysiker gillar att använda beteckningarna dy och dx var för sig.