LMA200, Analys. Läsanvisningar

Kapitel 4

4.1-2

Kurvritning är en av våra viktigaste tillämpningar på derivata. Det arbetsschema som boken ger vill jag ersätta med

1. Bestäm definitionsmängden
2. Undersök symmetri (är f jämn eller udda?)
3. Studium av förstaderivatan (bokens 1-3)
4. Studium av andraderivatan
5. Värdetabell, inklusive funktionens nollställen och gränsvärdesberäkningar (bokens 4)
6. Asymptoter (2.5.1 s. 157-164)
7. Skissa kurvan (bokens 5; självklart, det var ju det som set hela gick ut på!)

Kurvkonstruktion är också lämplig för att besvara diverse frågor om funktionens beteende, t.ex. angående dess värdemängd som i Ex. 1 och avsnitt 4.2.
Här kan det vara på sin plats att påminna om (14)-(15) s. 148-149 enligt vilka en kontinuerlig funktion på ett slutet, begränsat intervall antar ett största och ett minsta värde och alla värden däremellan; m.a.o. är värdemängden också ett slutet, begränsat intervall.
Sats 3.13 ger att extremvärdena söks

• i stationära punkter
• i punkter där derivatan inte existerar
• i intervallets ändpunkter

4.3

Sedan man formulerat ett problem matematiskt (matematisk modellering, om inte denna term känns alltför anspråksfull här) kan man angripa det med t.ex. metoderna i 4.1-2 och därefter tolka resultatet i termer av det ursprungliga problemet.

4.4

Olikheter kan alltid omformuleras till att visa att en viss funktion bara tar positiva värden, vilket återigen handlar om att undersöka dess värdemängd.

4.5

Vi skall framför allt intressera oss för Newton-Raphsons metod, men den allmänna Sats 3 är också av intresse. I samband med Ex. 12, pröva själv att på räknaren beräkna cos(cos(...(cos x)...)) (valfritt startvärde) och se var du hamnar.
Iteration behandlas redan i avsnitt 1.12 s. 123, så det kan vara anledning att nu återvända till det.
Om A är ett positivt tal, mot vad konvergerar följden

• x₀ = 1
• x_n+1 = (x_n +  A/x_n) / 2,   n >= 0  ?