LMA200, Analys. Läsanvisningar

Kapitel 5

5.1

Primitiv (i betydelsen ursprunglig) funktion, eller obestämd integral, F till en funktion f är sådan att F' = f; även termen antiderivata förekommer (åtminstone på engelska). (2)-(12) ger en lista på sådana vi känner till och kan läsas så att högerledets derivata är integranden i vänsterledet. Eftersom derivering är en linjär operator, gäller detsamma för dess omvändning: (15)-(16).
Två mycket viktiga generella metoder för att beräkna primitiva funktioner är partiell integration och variabelsubstitution, som är omvändningarna av produktregeln resp. kedjeregeln.
En typisk användning av partiell integration är när man har ett polynom gånger e^x; integrera exponentialfaktorn så att man kan derivera bort polynomfaktorn - fungerar lika bra om man har sin eller cos i st.f. exp.
När det gäller variabelsubstitution är attityden denna: finn fridstöraren och substituera bort den!
Att beräkna primitiva funktioner är en mycket svårare uppgift än att beräkna derivator och kan i själva verket inte alltid krönas med framgång; t.ex. kan inte de primitiva funktionerna till e^x2 eller sin x / x uttryckas med våra vanliga funktioner. Man har också flera metoder att välja på, vilket ger en frihet men kanske också en villrådighet. Om en metod inte verkar fungera, får man pröva en annan. Endast övning kan ge färdighet.

5.2

Som vanligt är rationella funktioner de mest hanterbara; partialbråksuppdelning har man användning av även i andra sammanhang. Kom ihåg att man som vanligt skall utföra divisionen innan man gör något annat.
Vi kommer inte att ta upp fallet med högre potenser av irreducibla andragradspolynom i nämnaren, men det finns att läsa här om någon skulle behöva det i framtiden.

5.3

Detta faller egentligen under 5.1, men eftersom funktioner av denna typ är så pass vanliga kan det löna sig att lära sig vad som är framgångsrikt. Substitutionen (24) blir mer begriplig om man skriver den som s - t = rot(t² + a), för efter kvadrering försvinner termen t². Integralen i Ex. 19 kan man dock gott lära sig som minneskunskap; (25) har vi sett i övningen 3.11a.

5.4

Standardsubstitutionen i rationella uttryck av cos och sin, t = tan x/2, leder ofta till ganska hiskliga rationella funktioner som visserligen är integrerbara men jobbiga, så kan man hitta något annat är det ofta bättre. T.ex. kan man i Ex. 23 använda följande generella råd:
Om sin eller cos förekommer till udda potens, substituera för den andra.
Just i Ex. 23 blir detta litet jobbigare, men om man t.ex. skall integrera sin³x fungerar det utmärkt att sätta t = cos x. Jämför Ex. 25 och övning 5.33.
Observera metoden med "rundgång" i Ex. 26; fungerar också för att beräkna primitiv till e^x cos x eller e^x sin x. Se övning 5.15a.
Den komplexa metoden i Ex. 27 är inte nödvändig; jämna potenser av cos eller sin kan man hantera med dubbla-vinkel-formlerna (60)-(61) s. 103.