LMA200, Analys. Läsanvisningar

Kapitel 6

6.1

Att en funktion är integrerbar innebär att den kan approximeras så nära uppifrån och nedifrån med trappfunktioner att skillnaden mellan motsvarande över- och undersumma kan göras godtyckligt liten.

6.2

Detta gäller bl.a. kontinuerliga funktioner och, vilket är (ännu) lättare att bevisa, monotona funktioner. För kontinuerliga eller monotona funktioner kan integralen också fås som gränsvärde av en Riemannsumma eftersom en sådan måste ligga mellan över- och undersummor baserade på samma indelning av integrationsintervallet.

6.3

Sats 5 ger integralens grundläggande egenskaper vilka alla är mer eller mindre omedelbara konsekvenser av definitionen; märk (13) som gör (12) giltig för alla a, b, c, inte bara a < c < b. Ur integraldefinitionen följer också att integralen ligger mellan m(b-a) och M(b-a) om m <= f(x) <= M på intervallet [a, b] vilket f.ö. används i beviset av integralkalkylens medelvärdessats, som i sin tur används i beviset av Analysens huvudsats i nästa avsnitt.

6.4

Här visas sambandet mellan derivata och integral, och vi får en metod att beräkna integraler förutsatt att vi kan bestämma en primitiv funktion till integranden. (Integralberäkningar "i verkligheten" görs nog mest numeriskt; avsnitt 7.11 innehåller något om detta.) För detta har vi naturligtvis tillgång till alla metoder i Kap. 5; märk metoden att "ta med sig" integrationsgränserna vid variabelbyte.

6.5

Generaliserade integraler betyder bara att man först beräknar integralen över en del av intervallet och sedan gör gränsövergång, både om intervallet är obegränsat eller integranden är obegränsad.

Kapitel 7

7.1-7.4

Areabestämning var grundmotiveringen bakom införandet av integraler och vi får här några exempel. Mera generellt kan integraler sägas handla om beräkning av summor där antalet termer går mot oändligheten samtidigt som varje term går mot 0; beräkning av volym och båglängd är två andra typiska användningar och beräkning av massa genom att integrera densitet ger en fysikalisk tillämpning.

---

Last modified: Fri Oct 10 09:45:02 MEST 2003