Göteborgs universitet
Matematik/TW HT04
LMA200 Analys. Läsanvisningar
Kapitel 1
- 1.1
- Intervallbeteckningarna kommer vi att använda ofta.
- 1.2
- Det mesta här borde vara välbekant. I analysen är man ofta inte
så noga med att ange definitionsmängden utan ger en formel, och
om ingenting annat sägs så är definitionsmängden den största
delmängd av R där formeln fungerar.
- 1.3
- Absolutbelopp har vi redan mött både för komplexa tal och
vektorer, i vilka fall namnet på triangelolikheten är lätt att
förstå geometriskt. För reella tal är den närmast trivial (och
följer förstås också från att den gäller för komplexa tal, men
det får ses som en omväg!) men vi kommer att använda den ofta.
När det gäller att behandla uttryck av typen
|f(x)|, kom ihåg att det är tecknet på
f(x), inte på x, som avgör om
det är lika med f(x) eller
-f(x).
- 1.4
- Ingenting nytt här. Graferna på s. 48-49 kan kanske vara värda
att titta litet på. Räta linjens ekvation skall man naturligtvis
kunna fram- och baklänges; finns också i avsnitt 0.5.
- 1.5
- Även rationella funktioner - kvot mellan polynom - har vi mött i
viss mån, men graferna s. 67-68 är värda att studera. Vi kommer
att göra det mer i detalj efter att ha infört gränsvärde och
derivata.
- 1.6
- Definitionen av ab,
a positivt och b godtyckligt reellt, sker
i flera steg s. 69-70. Här borde påpekats att
xq → ∞ då
x → ∞ ;
jag visar detta på föreläsningen.
Egenskaperna (22)-(26) skall man vara klar
över; (22)-(24) är självklara när exponenterna är positiva
heltal, vilket kan vara en hjälp att komma ihåg dem.
Skilj mellan potensfunktioner - variabel bas, konstant exponent
- och exponentialfunktioner - vice versa.
Beviset av (28) skall man kunna liksom Sats 8 med bevis.
- 1.7
- Logaritmfunktioner definieras som invers till
exponentialfunktioner, även om begreppet invers funktion inte
kommer förrän i nästa avsnitt. Logaritmlagarna (34)-(37) är
direkta följder av potenslagar; genomför beviset av (37) på
liknande sätt som boken bevisar (35). Sats 10 är en direkt följd
av Sats 8; storleksordningen i oändligheten mellan logaritm-,
potens- och exponentialfunktion skall man kunna.
Jag tycker att boken kunde nöjt sig med den naturliga
logaritmfunktionen och du får gärna tänka på ln när det står
alog. Egenskapen (38) visar att alla
logaritmfunktioner kan uttryckas m.hj.a. ln.
1.7.4 kan du läsa kursivt; begreppen pH och
decibel tillhör allmänbildningen.
- 1.8
- 1.8.1 generaliserar proceduren i
1.7 till invers funktion i allmänhet. Att
beräkna inversen till f (om den finns) gör man genom
att lösa ekvationen f(x) = s
med avseende på x; om den ekvationen inte är entydigt
lösbar så är f inte inverterbar. Sedan är det en
annan sak att det inte alltid går att bestämma ett uttryck för
lösningen till ekvationen även om man kan bevisa att
f är injektiv.
Sammansättning av funktioner kommer vi ständigt att möta; i
Ex. 41 har vi √(x2). Glöm
aldrig att den är lika med |x| ! Det är lätt att göra
det i "stridens hetta" (som du nog skall se längre fram!).
Terminologin i 1.8.3 kommer vi ständigt att
använda.
- 1.9
- Mycket av detta är repetition. Man bör vara säker på de
trigonometriska funktionernas värden enligt tabellerna på s. 97
och 98; de senare kanske inte nödvändigtvis som minneskunskap
utan som resultat av användning av halv kvadrat och halv
liksidig triangel. Grunden för de trigonometriska funktionerna
är dock enhetscirkeln enligt def. s. 97. Observera att vi alltid
mäter vinklar i radianer.
Det finns "hur många formler som helst" för de trigonometriska
funktionerna men de är långt ifrån oberoende av varandra, så ur
ett relativt fåtal kan man härleda de andra.
Trig.ettan (47), komplementvinkelformeln (52) och
additionsformeln (56) är ett absolut minimum av vad man skall
kunna; (56) visas lättast i form av (54). Det är relativt enkelt
att översätta mellan formlerna (54)-(57) m.hj.a. (52) och att
byta y mot -y. (58)-(61) är också bra att
kunna (och är lätta att härleda).
Omskrivningen av (66) enl. s. 106, hjälpvinkelmetoden, skall du
kunna.
Av tangens och cotangens är tangens klart viktigast; cotangens
är bara dess inverterade värde.
Sats 13, 14 och ex. 55 är viktiga.
- 1.10
- De trigonometriska funktionerna är inte inverterbara, men med
lämpliga inskränkningar av deras definitionsmängder blir de det.
Mest använda är arcsin och arctan.
Observera noga (72) och (73) och motsvarande samband för övriga
arcusfunktioner. arcsin(sin(x)) är definierat för alla
x men är bara lika med x i intervallet
[-π/2, π/2], medan
sin(arcsin(x)) är lika med x överallt där
det är definierat.
- 1.11
- De hyperboliska funktionerna definieras enkelt ur
exponentialfunktionen och är praktiska i vissa tillämpningar och
har en del egenskaper liknande dem som trig.funktionerna har,
t.ex. hyperboliska ettan (77) och additionsformler.
Kapitel 2
Begreppet gränsvärde är grundläggande och är det som skiljer
matematisk analys från andra matematiska områden; det används för
viktiga begrepp som kontinuitet, derivata och integral.
- 2.1
- Här ges definitionen av gränsvärde i flera olika situationer. I
samtliga fall handlar det om att f(x) kan
göras så nära sitt gränsvärde som man önskar bara x
görs tillräckligt nära sin gränspunkt eller ∞, där "nära ∞"
betyder "stort". Samma princip gäller även för oegentliga
gränsvärden, ∞ eller -∞.
Vi har redan mött några gränsvärden i kapitel 1 men gör nu en
mer systematisk genomgång. För beräkning av gränsvärden har man
gränsvärdesreglerna i Sats 1-5 och en lista på
"standardgränsvärden"; en lista kommer i 2.4
men vi har redan sett några av dessa i kapitel 1, satserna 8, 10
och 14. Ex. 8 s. 140 är ytterligare en variant på gränsvärdet i
sats 1.8 (och 1.10).
- 2.2
- Kontinuitet är en mycket viktig egenskap hos en funktion och kan
beskrivas som att en liten förändring av variabelvärdet bara ger
en liten förändring av funktionsvärdet.
Ex. 13 ger två nya standardgränsvärden, och att
xx → 1 då x → 0+
(Ex. 14) skall man också känna till. Att som i dessa exempel skriva
om en exponentiering så att basen blir e är ofta mycket
användbart.
De viktiga egenskaperna (14) och (15) s. 148-149 kan
sammanfattas: Värdemängden till en kontinuerlig funktion på ett
slutet begränsat intervall är ett slutet begränsat intervall.
- 2.3
- Talet e definieras som gränsvärde av en talföljd;
sats 7 ger några varianter av denna definition. Egenskapen (16)
som är karakteristisk för de reella talen brukar kallas
supremumaxiomet.
Sats 8 ger en förklaring till varför basen e för
logaritm- och exponentialfunktion är så praktisk: med en annan
bas a blir dessa gränsvärden 1/ln a
resp. ln a.
- 2.4
- Ger som utlovat en lista på standardgränsvärden; endast (33) och
(34) är nya.
- 2.5.1
- Att beräkna asymptoter brukar
ingå i konstruktion av funktionskurvor, vilket vi skall ägna oss
åt mer när vi infört derivatabegreppet, och vi tar upp detta avsnitt då.
- 2.5.2
- Intervallhalvering tar vi upp i samband med avsnitt 4.5.
Kapitel 3
- 3.1
- Derivatabegreppet är centralt och motiveras ofta (som här) med
ögonblicklig (tillväxt)hastighet (vad visar hastighetsmätaren?)
eller tangent till funktionskurva.
- 3.2
- Derivatans definition måste man naturligtvis kunna. De flesta
derivator kommer vi att beräkna med hjälp av deriveringsregler
och standardderivator, men i vissa lägen kan man bli tvungen att
gå tillbaka till definitionen.
En första standardderivata härleds i Ex. 4; vi skall senare se
att samma formel gäller även om n inte är ett
positivt heltal. Ex. 3 är f.ö. fallet n = 1/2.
Användningen av derivata för att beräkna
tangent och normal till en funktionskurva som i ex. 5 och 6 är
fundamental. Derivatan till en funktion är själv en funktion som
kan vara deriverbar, vilket leder till andraderivata (och så
vidare, men det är främst första och andra derivata som vi
använder).
- 3.3
- Eftersom nämnaren i differenskvoten går mot 0 måste även
täljaren göra det om derivatan existerar, vilket är innehållet i
sats 1.
Deriveringsreglerna (4) och (5) säger att derivering är en
linjär operator, (6) är produktregeln och (7) är kvotregeln; var
noga med tecknet i den sistnämnda!
Kedjeregeln är litet mer komplicerad, i synnerhet manövern i
beviset för att undvika division med 0. Dock är principen inte
svår - om en funktion är sammansatt av flera steg så är dess
derivata lika med produkten av de olika stegens
derivator. Tänker man på derivata som skalförändring är detta
intuitivt klart, vilket f.ö. också gäller derivatan av invers
funktion; det som inte utan vidare är klart i det sista fallet
är att inversen (om den existerar) till en deriverbar funktion
är deriverbar.
- 3.4
- Nu härleder vi de elementära funktionernas derivator.
Polynom och rationella funktioner klarar man
med den kända derivatan av xn
och deriveringsregler.
Exponentialfunktionens resp.
logaritmfunktionens derivata erhålles
m.hj.a. standardgränsvärdena i Sats 2.8 s. 154, och ur dem
härleds derivatan av den allmänna potensfunktionen.
Sinusfunktionens derivata härleds m.hj.a. en
trig. formel och standardgränsvärdet
limx → 0 sin x
/ x = 1. Ur den får man
cosinusfunktionens derivata genom en enkel omskrivning
och tangensfunktionens ur dessa och kvotregeln samt
trig.ettan; ibland är det dock fördelaktigt att skriva
tangensfunktionens derivata som 1 + tan2 x
vilket vi skall se när vi närmast härleder
arcusfunktionernas derivator m.hj.a. regeln för
derivata av invers funktion.
De hyperboliska funktionernas derivator är enkla
konsekvenser av definitionerna och exponentialfunktionens derivata.
- 3.5
- Två huvudpunkter:
- En inre extrempunkt för en deriverbar funktion är
stationär eller
kritisk, dvs derivatan är 0 där.
- Medelvärdessatsen med dess konsekvenser: om derivatan är 0
i ett intervall så är funktionen konstant där; om derivatan
är positiv i ett intervall så är funktionen strängt
växande där. En intuitiv tolkning av medelvärdessatsen är
att medelhastigheten under en färd måste överensstämma med
den ögonblickliga hastigheten vid något tillfälle under
färden.
Observera att satsen om mellanliggande värden är
något annat (s. 148-149).
- 3.6
- Vi har redan något berört detta; läs t.o.m. s. 208.
- 3.8
- Handlar om hur man trots allt kan uppfatta dy/dx som
en kvot; inte minst fysiker gillar att använda beteckningarna
dy och dx var för sig.
Kapitel 4
- 4.1-2
- Kurvritning är en av våra viktigaste tillämpningar på
derivata. Det arbetsschema som boken ger vill jag ersätta med
- Bestäm definitionsmängden
- Undersök symmetri (är f jämn eller udda?)
- Studium av förstaderivatan (bokens 1-3)
- Studium av andraderivatan
- Asymptoter (2.5.1 s. 157-164)
- Värdetabell, inklusive funktionens nollställen och
gränsvärdesberäkningar (bokens 4)
- Skissa kurvan (bokens 5; självklart, det var ju det som
set hela gick ut på!)
Kurvkonstruktion är också lämplig för att besvara diverse frågor
om funktionens beteende, t.ex. angående dess värdemängd som i
Ex. 1 och avsnitt 4.2.
Här kan det vara på sin plats att påminna
om (14)-(15) s. 148-149 enligt vilka en kontinuerlig
funktion på ett slutet, begränsat intervall antar ett
största och ett minsta värde och alla värden däremellan;
m.a.o. är värdemängden också ett slutet, begränsat intervall.
Sats 3.13 ger att extremvärdena söks
- i stationära punkter
- i punkter där derivatan inte existerar
- i intervallets ändpunkter
- 4.3
- Sedan man formulerat ett problem matematiskt (matematisk
modellering, om inte denna term känns alltför anspråksfull
här) kan man angripa det med t.ex. metoderna i 4.1-2 och
därefter tolka resultatet i termer av det ursprungliga
problemet.
- 4.4
- Olikheter kan alltid omformuleras till att visa att en viss
funktion bara tar positiva värden, vilket återigen handlar om
att undersöka dess värdemängd.
- 4.5
- Vi skall framför allt intressera oss för Newton-Raphsons metod,
men den allmänna Sats 3 är också av intresse. I samband med
Ex. 12, pröva själv att på räknaren beräkna
cos(cos(...(cos x)...)) (valfritt startvärde) och se
var du hamnar.
Iteration behandlas redan i avsnitt 1.12 s. 123, så det kan
vara anledning att nu återvända till det.
Om A är ett positivt tal, mot vad konvergerar följden
- x0 = 1
- xn+1 =
(xn +
A/xn) / 2,
n ≥ 0 ?
Kapitel 5
- 5.1
- Primitiv (i betydelsen ursprunglig)
funktion, eller obestämd integral, F
till en funktion f är sådan att
F' = f; även termen
antiderivata förekommer (åtminstone på
engelska). (2)-(12) ger en lista på sådana vi känner till och
kan läsas så att högerledets derivata är integranden i
vänsterledet. Eftersom derivering är en linjär operator, gäller
detsamma för dess omvändning: (15)-(16).
Två mycket viktiga generella metoder för att beräkna primitiva
funktioner är partiell integration och variabelsubstitution, som
är omvändningarna av produktregeln resp. kedjeregeln.
En typisk användning av partiell integration är när man har ett
polynom gånger ex; integrera
exponentialfaktorn så att man kan derivera bort polynomfaktorn -
fungerar lika bra om man har sin eller cos i st.f. exp.
När det gäller variabelsubstitution är attityden denna: finn
fridstöraren och substituera bort den!
Att beräkna primitiva funktioner är en mycket svårare uppgift än
att beräkna derivator och kan i själva verket inte alltid krönas
med framgång; t.ex. kan inte de primitiva funktionerna till
ex2 eller
sin x / x uttryckas med
våra vanliga funktioner. Man har också flera metoder att välja
på, vilket ger en frihet men kanske också en villrådighet. Om en
metod inte verkar fungera, får man pröva en annan. Endast övning
kan ge färdighet.
- 5.2
- Som vanligt är rationella funktioner de mest
hanterbara; partialbråksuppdelning har man
användning av även i andra sammanhang. Kom ihåg att man som
vanligt skall utföra divisionen innan man gör något annat.
Vi kommer inte att ta upp fallet med högre potenser av
irreducibla andragradspolynom i nämnaren, men det finns att läsa
här om någon skulle behöva det i framtiden.
- 5.3
- Detta faller egentligen under 5.1, men eftersom funktioner av
denna typ är så pass vanliga kan det löna sig att lära sig vad
som är framgångsrikt. Substitutionen (24) blir mer begriplig om
man skriver den som
s - t = √(t2 + a),
för efter kvadrering försvinner termen t2.
Integralen i Ex. 19 kan man dock gott lära sig som
minneskunskap; (25) har vi sett i övningen 3.11a.
- 5.4
- Standardsubstitutionen i rationella uttryck av cos och sin,
t = tan x/2, leder ofta till
ganska hiskliga rationella funktioner som visserligen är
integrerbara men jobbiga, så kan man hitta något annat är det
ofta bättre. T.ex. kan man i Ex. 23 använda följande generella råd:
Om sin eller cos förekommer till udda potens, substituera för
den andra.
Just i Ex. 23 blir detta litet jobbigare, men om man t.ex. skall
integrera sin3x fungerar det utmärkt att
sätta t = cos x. Jämför
Ex. 25 och övning 5.33.
Observera metoden med "rundgång" i Ex. 26; fungerar också för
att beräkna primitiv till
ex cos x eller
ex sin x.
Se övning 5.15a.
Den komplexa metoden i Ex. 27 är inte nödvändig; jämna
potenser av cos eller sin kan man hantera med
dubbla-vinkel-formlerna (60)-(61) s. 103.
Kapitel 6
- 6.1
- Att en funktion är integrerbar innebär att den kan approximeras
så nära uppifrån och nedifrån med trappfunktioner att skillnaden
mellan motsvarande över- och undersumma kan göras godtyckligt liten.
- 6.2
- Detta gäller bl.a. kontinuerliga funktioner och, vilket är (ännu)
lättare att bevisa, monotona funktioner. För kontinuerliga eller
monotona funktioner kan integralen också fås som gränsvärde av en
Riemannsumma eftersom en sådan måste ligga mellan över-
och undersummor baserade på samma indelning av integrationsintervallet.
- 6.3
- Sats 5 ger integralens grundläggande egenskaper vilka alla är mer eller
mindre omedelbara konsekvenser av definitionen; märk (13) som gör (12)
giltig för alla a, b, c, inte bara
a < c < b. Ur
integraldefinitionen följer också att integralen ligger mellan
m(b-a) och M(b-a) om
m ≤ f(x) ≤ M
på intervallet [a, b] vilket f.ö. används i beviset av
integralkalkylens medelvärdessats, som i sin tur används i beviset av
Analysens huvudsats i nästa avsnitt.
- 6.4
- Här visas sambandet mellan derivata och integral, och vi får en metod
att beräkna integraler förutsatt att vi kan bestämma en primitiv
funktion till integranden. (Integralberäkningar "i verkligheten"
görs nog mest numeriskt; avsnitt 7.11 innehåller något om detta.) För
detta har vi naturligtvis tillgång till alla
metoder i Kap. 5; märk metoden att "ta med sig" integrationsgränserna
vid variabelbyte.
- 6.5
- Generaliserade integraler betyder bara att man först beräknar integralen
över en del av intervallet och sedan gör gränsövergång, både om
intervallet är obegränsat eller integranden är obegränsad.
Kapitel 7
- 7.1, 7.3
- Areabestämning var grundmotiveringen bakom införandet av integraler
och vi får här några exempel. Mera generellt kan integraler sägas
handla om beräkning av summor där antalet termer går mot oändligheten
samtidigt som varje term går mot 0; beräkning av volym är
en annan typisk användning. Beräkning av massa genom att
integrera densitet ger en fysikalisk tillämpning, och beräkning av
båglängd är förstås också intressant, men vi hinner nog inte ta upp
dessa. Den som är intresserad vet dock var det finns!