Göteborgs universitet
Matematik/TW HT05

LMA200 Analys. Läsanvisningar

Kapitel 1

1.1: Intervallbeteckningarna kommer vi att använda ofta.
1.2: Det mesta här borde vara välbekant. I analysen är man ofta inte så noga med att ange definitionsmängden utan ger en formel, och om ingenting annat sägs så är definitionsmängden den största delmängd av R där formeln fungerar.
1.3: Absolutbelopp har vi redan mött både för komplexa tal och vektorer, i vilka fall namnet på triangelolikheten är lätt att förstå geometriskt. För reella tal är den närmast trivial (och följer förstås också från att den gäller för komplexa tal, men det får ses som en omväg!) men vi kommer att använda den ofta. När det gäller att behandla uttryck av typen |f(x)|, kom ihåg att det är tecknet på f(x), inte på x, som avgör om det är lika med f(x) eller –f(x).
1.4: Ingenting nytt här. Graferna på s. 48-49 kan kanske vara värda att titta litet på. Räta linjens ekvation skall man naturligtvis kunna fram- och baklänges; finns också i avsnitt 0.5.
1.5: Även rationella funktioner – kvot mellan polynom – har vi mött i viss mån, men graferna s. 67-68 är värda att studera. Vi kommer att göra det mer i detalj efter att ha infört gränsvärde och derivata.
1.6: Definitionen av a^b, a positivt och b godtyckligt reellt, sker i flera steg s. 69-70. Här borde påpekats att x^q → ∞ då x → ∞ ; jag visar detta på föreläsningen.
Egenskaperna (22)-(26) skall man vara klar över; (22)-(24) är självklara när exponenterna är positiva heltal, vilket kan vara en hjälp att komma ihåg dem.
Skilj mellan potensfunktioner – variabel bas, konstant exponent – och exponentialfunktioner – vice versa.
Beviset av (28) skall man kunna liksom Sats 8 med bevis.
1.7: Logaritmfunktioner definieras som invers till exponentialfunktioner, även om begreppet invers funktion inte kommer förrän i nästa avsnitt. Logaritmlagarna (34)-(37) är direkta följder av potenslagar; genomför beviset av (37) på liknande sätt som boken bevisar (35). Sats 10 är en direkt följd av Sats 8; storleksordningen i oändligheten mellan logaritm-, potens- och exponentialfunktion skall man kunna.
Jag tycker att boken kunde nöjt sig med den naturliga logaritmfunktionen och du får gärna tänka på ln när det står ^alog. Egenskapen (38) visar att alla logaritmfunktioner kan uttryckas m.hj.a. ln.
1.7.4 kan du läsa kursivt; begreppen pH och decibel tillhör allmänbildningen.
1.8: 1.8.1 generaliserar proceduren i 1.7 till invers funktion i allmänhet. Att beräkna inversen till f (om den finns) gör man genom att lösa ekvationen f(x) = s med avseende på x; om den ekvationen inte är entydigt lösbar så är f inte inverterbar. Sedan är det en annan sak att det inte alltid går att bestämma ett uttryck för lösningen till ekvationen även om man kan bevisa att f är injektiv.
Sammansättning av funktioner kommer vi ständigt att möta; i Ex. 41 har vi √(x²). Glöm aldrig att den är lika med |x| ! Det är lätt att göra det i "stridens hetta" (som du nog skall se längre fram!).
Terminologin i 1.8.3 kommer vi ständigt att använda.
1.9: Mycket av detta är repetition. Man bör vara säker på de trigonometriska funktionernas värden enligt tabellerna på s. 97 och 98; de senare kanske inte nödvändigtvis som minneskunskap utan som resultat av användning av halv kvadrat och halv liksidig triangel. Grunden för de trigonometriska funktionerna är dock enhetscirkeln enligt def. s. 97. Observera att vi alltid mäter vinklar i radianer.
Det finns "hur många formler som helst" för de trigonometriska funktionerna men de är långt ifrån oberoende av varandra, så ur ett relativt fåtal kan man härleda de andra.
Trig.ettan (47), komplementvinkelformeln (52) och additionsformeln (56) är ett absolut minimum av vad man skall kunna; (56) visas lättast i form av (54). Det är relativt enkelt att översätta mellan formlerna (54)-(57) m.hj.a. (52) och att byta y mot –y. (58)-(61) är också bra att kunna (och är lätta att härleda).
Omskrivningen av (66) enl. s. 106, hjälpvinkelmetoden, skall du kunna.
Av tangens och cotangens är tangens klart viktigast; cotangens är bara dess inverterade värde.
Sats 13, 14 och ex. 55 är viktiga.
1.10: De trigonometriska funktionerna är inte inverterbara, men med lämpliga inskränkningar av deras definitionsmängder blir de det. Mest använda är arcsin och arctan.
Observera noga (72) och (73) och motsvarande samband för övriga arcusfunktioner. arcsin(sin(x)) är definierat för alla x men är bara lika med x i intervallet [–π/2, π/2], medan sin(arcsin(x)) är lika med x överallt där det är definierat.
1.11: De hyperboliska funktionerna definieras enkelt ur exponentialfunktionen och är praktiska i vissa tillämpningar och har en del egenskaper liknande dem som trig.funktionerna har, t.ex. hyperboliska ettan (77) och additionsformler.

Kapitel 2

Begreppet gränsvärde är grundläggande och är det som skiljer matematisk analys från andra matematiska områden; det används för viktiga begrepp som kontinuitet, derivata och integral.

2.1: Här ges definitionen av gränsvärde i flera olika situationer. I samtliga fall handlar det om att f(x) kan göras så nära sitt gränsvärde som man önskar bara x görs tillräckligt nära sin gränspunkt eller ∞, där "nära ∞" betyder "stort". Samma princip gäller även för oegentliga gränsvärden, ∞ eller –∞.
Vi har redan mött några gränsvärden i kapitel 1 men gör nu en mer systematisk genomgång. För beräkning av gränsvärden har man gränsvärdesreglerna i Sats 1-5 och en lista på "standardgränsvärden"; en lista kommer i 2.4 men vi har redan sett några av dessa i kapitel 1, satserna 8, 10 och 14. Ex. 8 s. 140 är ytterligare en variant på gränsvärdet i sats 1.8 (och 1.10).
2.2: Kontinuitet är en mycket viktig egenskap hos en funktion och kan beskrivas som att en liten förändring av variabelvärdet bara ger en liten förändring av funktionsvärdet.
Ex. 13 ger två nya standardgränsvärden, och att x^x → 1 då x → 0+ (Ex. 14) skall man också känna till. Att som i dessa exempel skriva om en exponentiering så att basen blir e är ofta mycket användbart.
De viktiga egenskaperna (14) och (15) s. 148-149 kan sammanfattas: Värdemängden till en kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall är ett slutet begränsat intervall.
2.3: Talet e definieras som gränsvärde av en talföljd; sats 7 ger några varianter av denna definition. Egenskapen (16) som är karakteristisk för de reella talen brukar kallas supremumaxiomet.
Sats 8 ger en förklaring till varför basen e för logaritm- och exponentialfunktion är så praktisk: med en annan bas a blir dessa gränsvärden 1/ln a resp. ln a.
2.4: Ger som utlovat en lista på standardgränsvärden; endast (33) och (34) är nya.
2.5.1: Att beräkna asymptoter brukar ingå i konstruktion av funktionskurvor, vilket vi skall ägna oss åt mer när vi infört derivatabegreppet, och vi tar upp detta avsnitt då.
2.5.2: Intervallhalvering tar vi upp i samband med avsnitt 4.5.

Kapitel 3

3.1

Derivatabegreppet är centralt och motiveras ofta (som här) med ögonblicklig (tillväxt)hastighet (vad visar hastighetsmätaren?) eller tangent till funktionskurva.

3.2

Derivatans definition måste man naturligtvis kunna. De flesta derivator kommer vi att beräkna med hjälp av deriveringsregler och standardderivator, men i vissa lägen kan man bli tvungen att gå tillbaka till definitionen.
En första standardderivata härleds i Ex. 4; vi skall senare se att samma formel gäller även om n inte är ett positivt heltal. Ex. 3 är f.ö. fallet n = 1/2.
Användningen av derivata för att beräkna tangent och normal till en funktionskurva som i ex. 5 och 6 är fundamental. Derivatan till en funktion är själv en funktion som kan vara deriverbar, vilket leder till andraderivata (och så vidare, men det är främst första och andra derivata som vi använder).

3.3

Eftersom nämnaren i differenskvoten går mot 0 måste även täljaren göra det om derivatan existerar, vilket är innehållet i sats 1.
Deriveringsreglerna (4) och (5) säger att derivering är en linjär operator, (6) är produktregeln och (7) är kvotregeln; var noga med tecknet i den sistnämnda!
Kedjeregeln är litet mer komplicerad, i synnerhet manövern i beviset för att undvika division med 0. Dock är principen inte svår – om en funktion är sammansatt av flera steg så är dess derivata lika med produkten av de olika stegens derivator. Tänker man på derivata som skalförändring är detta intuitivt klart, vilket f.ö. också gäller derivatan av invers funktion; det som inte utan vidare är klart i det sista fallet är att inversen (om den existerar) till en deriverbar funktion är deriverbar.

3.4

Nu härleder vi de elementära funktionernas derivator.
Polynom och rationella funktioner klarar man med den kända derivatan av xⁿ och deriveringsregler.
Exponentialfunktionens resp. logaritmfunktionens derivata erhålles m.hj.a. standardgränsvärdena i Sats 2.8 s. 154, och ur dem härleds derivatan av den allmänna potensfunktionen.
Sinusfunktionens derivata härleds m.hj.a. en trig. formel och standardgränsvärdet lim_x → 0sin x / x = 1. Ur den får man cosinusfunktionens derivata genom en enkel omskrivning och tangensfunktionens ur dessa och kvotregeln samt trig.ettan; ibland är det dock fördelaktigt att skriva tangensfunktionens derivata som 1 + tan² x vilket vi skall se när vi närmast härleder arcusfunktionernas derivator m.hj.a. regeln för derivata av invers funktion.
De hyperboliska funktionernas derivator är enkla konsekvenser av definitionerna och exponentialfunktionens derivata.

3.5

Två huvudpunkter:

En inre extrempunkt för en deriverbar funktion är stationär eller kritisk, dvs derivatan är 0 där.
Medelvärdessatsen med dess konsekvenser: om derivatan är 0 i ett intervall så är funktionen konstant där; om derivatan är positiv i ett intervall så är funktionen strängt växande där. En intuitiv tolkning av medelvärdessatsen är att medelhastigheten under en färd måste överensstämma med den ögonblickliga hastigheten vid något tillfälle under färden.
Observera att satsen om mellanliggande värden är något annat (s. 148-149).

3.6

Vi har redan något berört detta; läs t.o.m. s. 208.

3.8

Handlar om hur man trots allt kan uppfatta dy/dx som en kvot; inte minst fysiker gillar att använda beteckningarna dy och dx var för sig.

Kapitel 4

4.1-2

Kurvritning är en av våra viktigaste tillämpningar på derivata. Det arbetsschema som boken ger vill jag ersätta med

Bestäm definitionsmängden
Undersök symmetri (är f jämn, udda eller ej?)
Studium av förstaderivatan (bokens 1-3)
Studium av andraderivatan
Asymptoter (2.5.1 s. 157-164)
Värdetabell, inklusive funktionens nollställen och gränsvärdesberäkningar (bokens 4)
Skissa kurvan (bokens 5; självklart, det var ju det som det hela gick ut på!)

Kurvkonstruktion är också lämplig för att besvara diverse frågor om funktionens beteende, t.ex. angående dess värdemängd som i Ex. 1 och avsnitt 4.2.
Här kan det vara på sin plats att påminna om (14)-(15) s. 148-149 enligt vilka en kontinuerlig funktion på ett slutet, begränsat intervall antar ett största och ett minsta värde och alla värden däremellan; m.a.o. är värdemängden också ett slutet, begränsat intervall.
Sats 3.13 ger att extremvärdena söks

i stationära punkter
i punkter där derivatan inte existerar
i intervallets ändpunkter

4.3

Sedan man formulerat ett problem matematiskt (matematisk modellering, om inte denna term känns alltför anspråksfull här) kan man angripa det med t.ex. metoderna i 4.1-2 och därefter tolka resultatet i termer av det ursprungliga problemet.

4.4

Olikheter kan alltid omformuleras till att visa att en viss funktion bara tar positiva värden, vilket återigen handlar om att undersöka dess värdemängd.

4.5

Vi skall framför allt intressera oss för Newton-Raphsons metod, men den allmänna Sats 3 är också av intresse. I samband med Ex. 12, pröva själv att på räknaren beräkna cos(cos(...(cos x)...)) (valfritt startvärde) och se var du hamnar.
Iteration behandlas redan i avsnitt 1.12 s. 123, så det kan vara anledning att nu återvända till det.
Om A är ett positivt tal, mot vad konvergerar följden

x₀ = 1
x_n+1 = (x_n + A/x_n) / 2, n ≥ 0 ?

Kapitel 5

5.1: Vi läser detta efter avsnitt 6.4 och bara t.o.m. s. 252.
Primitiv (i betydelsen ursprunglig) funktion, eller obestämd integral, F till en funktion f är sådan att F´ = f; även termen antiderivata förekommer (åtminstone på engelska). (2)-(12) ger en lista på sådana vi känner till och kan läsas så att högerledets derivata är integranden i vänsterledet. Eftersom derivering är en linjär operator, gäller detsamma för dess omvändning: (15)-(16).
(13) och (14) visar hur man kan känna igen derivator som uppstått m.hj.a. kedjeregeln; allmänt gäller att om f har den primitiva funktionen F så har f(g(x))·g´(x) den primitiva funktionen F(g(x)).

Kapitel 6

6.1: Att en funktion är integrerbar innebär att den kan approximeras så nära uppifrån och nedifrån med trappfunktioner att skillnaden mellan motsvarande över- och undersumma kan göras godtyckligt liten.
6.2: Detta gäller bl.a. kontinuerliga funktioner och, vilket är (ännu) lättare att bevisa, monotona funktioner. För kontinuerliga eller monotona funktioner kan integralen också fås som gränsvärde av en Riemannsumma eftersom en sådan måste ligga mellan över- och undersummor baserade på samma indelning av integrationsintervallet.
6.3: Sats 5 ger integralens grundläggande egenskaper vilka alla är mer eller mindre omedelbara konsekvenser av definitionen; märk (13) som gör (12) giltig för alla a, b, c, inte bara a < c < b. Ur integraldefinitionen följer också att integralen ligger mellan m(b-a) och M(b-a) om m ≤ f(x) ≤ M på intervallet [a, b] vilket f.ö. används i beviset av integralkalkylens medelvärdessats, som i sin tur används i beviset av Analysens huvudsats i nästa avsnitt.
6.4: Här visas sambandet mellan derivata och integral, och vi får en metod att beräkna integraler förutsatt att vi kan bestämma en primitiv funktion till integranden. (Integralberäkningar "i verkligheten" görs nog mest numeriskt; avsnitt 7.11 innehåller något om detta.) Vi läser t.o.m. s. 299.
6.5: Generaliserade integraler betyder bara att man först beräknar integralen över en del av intervallet och sedan gör gränsövergång, både om intervallet är obegränsat eller integranden är obegränsad.

Kapitel 7

7.1, 7.3: Areabestämning var grundmotiveringen bakom införandet av integraler och vi får här några exempel. Mera generellt kan integraler sägas handla om beräkning av summor där antalet termer går mot oändligheten samtidigt som varje term går mot 0; beräkning av volym är en annan typisk användning. Beräkning av massa genom att integrera densitet ger en fysikalisk tillämpning, och beräkning av båglängd är förstås också intressant, men vi hinner nog inte ta upp dessa. Den som är intresserad vet dock var det finns!