MAL610. Anvisningar vid studiet av Adams kap 5-9 & 17

Kapitel 5

5.1

Summatecknet är väl ingen nyhet!

5.2

En inledning till integralbegreppet och några summaberäkningar.

5.3

Integraldefinitionen är förstås viktig! Tyvärr har Adams valt att kräva kontinuitet redan i definitionen, vilket gör att Sats 2 blir litet lustig (om f är kontinuerlig så är f integrerbar) eftersom det extra villkoret man nyss lade på f i Def. 3 tydligen inte var något extra villkor! Den rätta definitionen finns i Appendix IV, där man a priori endast kräver att f är begränsad och vi får en definition av integrerbarhet som inte uppfylls bara av kontinuerliga funktioner. T.ex. är varje monoton funktion integrerbar, vilket f.ö. är lättare att bevisa än att kontinuerliga funktioner är integrerbara; det senare beviset går via begreppet likformig kontinuitet, som också tas upp i App. IV. Trots vad jag skrivit i kursplanen avstår vi dock från dessa bevis.
Ett fruktbart sätt att intuitivt tänka på integralbegreppet är area med tecken.

5.4

Egenskaperna i Sats 3 skall du se till att du förstår via areatolkningen; egenskapen (d) används för att dela upp integrationsintervallet om integranden bara är styckvis kontinuerlig eller om den visserligen är kontinuerlig men definierad av olika uttryck på olika delar av intervallet. Medelvärdessatsen för integraler är viktig.

5.5

Centralt avsnitt, vilket man ju också förstår av dess titel! Det finns egentligen ingenting i definitionerna av derivata och integral som avslöjar att de är så intimt förbundna, men det är fundamentalt för beräkning av integraler (och för definitionen av ln x i avsnitt 3.3).
För integralberäkningar har man användning av listan på primitiva funktioner på s. 156, som vi redan sett, men en utökad version av den kommer på s. 330.
Observera noga Ex. 6.
Märk användningen av kedjeregeln för derivataberäkning i Ex. 7 och allmänt mellan Ex. 7 och Ex. 8.

5.6

Här får vi en lista över ''deriveringsregler baklänges'' och av dem bör du definitivt kunna 7 (1-6 är specialfall), 8-12 (vi skriver ju inte sec och csc utan 1/cos och 1/sin), 15, 16 och 17 samt att en primitiv funktion till 1/Sqrt(x² + a) är ln | x + Sqrt(x² + a) |, vilket man kollar genom att derivera den (påstådda) primitiva funktionen och förenkla svaret.
De tre viktigaste integrationsmetoderna när man inte får svaret direkt ur deriveringsreglerna är variabelsubstitution (detta avsnitt och avsnitt 6.2), partiell integration (avsnitt 6.1) och partialbråksuppdelning (avsnitt 6.3). I övningarna 13 och 19 i detta avsnitt leder den naturliga substitutionen till integraler som löses med metoden i 6.3, så de kommer kanske litet tidigt.
Att bli en framgångsrik substitutör kräver en hel del träning; ofta gäller det att identifiera ''fridstöraren'' i integralen och substituera bort den.
Primitiva funktioner till sec x och csc x beräknar vi inte enligt Adams utan använder att de är exempel på funktioner av typen sin^m x cosⁿ x (med m = 0 och n = -1 resp. m = -1 och n = 0) vilka kan integreras via u = sin x om n är udda och u = cos x om m är udda (Ex. 7); om båda är jämna och > 0 kan man använda formlerna med dubbla vinkeln som i Ex. 8 och 9. Ex. 10(b) behandlar ett fall med jämn och negativ exponent.
När man substituerar u = sin x för att beräkna integralen av 1/cos x får man skriva om integranden som cos x / cos² x och använda trig.ettan på nämnaren; resultatet blir att man skall integrera 1/(1-u²), vilket man gör m.hj.a. partialbråksuppdelning. Resultatet blir (1/2)ln | (1+sin x)/(1-sin x) | vilket är ekvivalent med bokens ln | sec x + tan x | som ju är detsamma som ln | (1+sin x)/cos x) |. Svaret kan f.ö. formuleras på många olika sätt m.hj.a. trigonometriska identiteter.

5.7

Går mest ut på att beräkna arean mellan två kurvor, vilket kan innebära att man måste finna deras skärningspunkter. Vidare måste man hålla reda på vilken av funktionerna som är störst, och ibland lönar det sig att integrera m.a.p. y i st.f. x (Ex. 4).

Kapitel 6

6.1

Här handlar det om produktregeln baklänges och det rör sig om att identifiera integranden som en produkt, där man integrerar den ena faktorn för att sedan derivera den andra. Adams använder en framställning där man tänker på den ena faktorn som U och den andra faktorn (·dx) som dV; själv brukar jag oftast tänka på integranden som f(x)·g(x) och att integralen är lika med F(x)·g(x) minus integralen av F(x)·g'(x), där F är en primitiv funktion till f.
Adams' V svarar alltså mot mitt F och hans U mot mitt g.
Partiell integration används framför allt i följande fall:

• f = exp, sin eller cos; g(x) ett polynom. Genom upprepad partiell integration blir man så småningom av med polynomfaktorn som i Ex. 2(b).
• g en funktion som förenklas vid derivering som i Ex. 2(a, c, d).
• ''rundgång'' som i Ex. 4. Att en konstant C₁ dyker upp beror på att den obestämda integralen I döljer en godtycklig konstant; så länge som det finns en obestämd integral i båda leden behöver ingen extra konstant skrivas ut, men när alla obestämda integraler samlas i vänsterledet måste en konstant skrivas ut i högerledet. Adams har valt att integrera den trigonometriska faktorn och derivera exponentialfaktorn; man kunde lika gärna ha gjort tvärtom, vilket kanske rent av är enklare, eftersom de flesta nog är bättre på att då hålla reda på det minustecken som dyker upp i samband med trig.funktionerna.
• reduktionsformler som i Ex. 5 och 6; i Ex. 6 har vi också ''rundgång''.

6.2

Ibland är det enklare att substituera i formen x=g(u) än u=g(x); Adams kallar detta invers substitution och ger några exempel. Ex. 5 och subst. x=tan(t/2) på s. 358 är dock exempel på direkt substitution, och Ex. 6-8 kan lika gärna formuleras med direkt subst., så det är inte så viktigt att skilja mellan direkt och invers subst.

6.3

Partialbråksuppdelning beskrivs generellt i Sats 1 s. 367. Se till att du förstår hur den används i exemplen. Resultatet är att alla rationella funktioner kan integreras. Kom ihåg att alltid utföra divisionen först så att täljaren har lägre gradtal än nämnaren innan du partialbråksuppdelar.

6.4

Är för den som har tillgång till ett symbolhanterande program.

6.5

Integraler kan vara generaliserade dels därför att integrationsmängden är obegränsad, dels därför att integranden är obegränsad. I båda fallen definieras integralen som ett gränsvärde.  p-integralerna skall man kunna; de är användbara som jämförelsematerial när man använder jämförelsekriteriet (Sats 3) och används också i samband med serier i Kap. 9.

6.6-7

I praktiken beräknas integraler numeriskt snarare än m.hj.a. primitiv funktion; numerisk integralberäkning kan faktiskt vara ett sätt att beräkna funktionsvärden. Tre vanliga metoder som du skall känna till finns här; du behöver inte kunna bevisa Sats 4, men du bör åtminstone orientera dig om storleksordningen på felet i och relationen mellan de tre metoderna. Lös uppgifterna med kalkylprogram eller programmerbar (grafritande) räknare.

6.8

Hoppar vi över.

Kapitel 7

7.1-2

Den markerade formeln upptill på s. 408 (''skinksatsen'' kallade vi den när jag gick i gymnasiet) ger den grundläggande metoden för att beräkna volym och är helt analog med areaberäkning enligt 5.7 s. 339: där integrerar man sträckor för att få area, här integrerar vi areor för att få volymer.
Rotationskroppar är ett specialfall; vid rotation kring y-axeln kan man välja y som integrationsvariabel eller att integrera cylindriska skal enligt det markerade på s. 412. (Cylindriska skal kan förstås också användas vid rotation kring x-axeln, då med y som integrationsvariabel; se sammanställningen s. 414. Det är inte meningen att lära sig dessa formler utantill utan om man förstår hur de är konstruerade kan man lätt återskapa dem själv.)

7.3

Båglängd av en kurva definieras som supremum av längden på approximerande polygontåg (Def. 1) och beräknas för deriverbara kurvor enligt det markerade på s. 422. Infinitesimalt är båglängdselementet ds en sträcka som kan beräknas med Pythagoras' sats enligt Fig. 7.22 och utredningen där intill; ds återkommer sedan i beräkningen av arean av rotationsytor på s. 426.
Att man inte kan beräkna ellipsens omkrets exakt kommer kanske som en överraskning (Ex. 4); däremot är dess area helt enkelt Pi·ab, vilket man kan inse genom att betrakta den som projektionen av en cirkel med radie a.

Kapitel 8

8.1

Kägelsnitt (= koniska sektioner) var förr ett huvudnummer i gymnasiet; numera kan väl folk knappast ens säga parabel (utan det blir parabol... Hu!).
Här krävs inget detaljstudium, men det tillhör allmänbildningen att kunna kurvornas definitioner (Def. 1, 2, 3; directrix heter styrlinje på svenska) och typiska utseende inklusive hyperbelns asymptoter samt åtminstone parabelns och ellipsens reflexionsegenskaper; den förra används ju t.ex. i strålkastare och parabolantenner och den senare kan studeras bl.a. på Kina slott där det finns ett elliptiskt rum där hovdamerna lär ha stått och skvallrat vid den ena brännpunkten utan att veta att kungen som satt vid den andra kunde höra dem.
Du skall också genom kvadratkomplettering kunna identifiera den geometriska motsvarigheten till andragradsekvationer i x och y utan xy-term.

8.2

Kurvor kan dels betraktas som en punktmängd i planet (eller rummet) (Def. 5), dels som funktioner (Def. 4). Läs särskilt Ex. 8; brachistikron-problemet ställdes av Bernoulli och löstes (utom av honom) av Newton. Ex. 9 behöver du inte läsa.

8.3

Det bästa sättet att tänka på tangenten till en parameterkurva är att dess tangentvektor i punkten (f(t), g(t)) är (f'(t), g'(t)) (om denna vektor inte är 0). Kurvans lutning i punkten är då g'(t)/f'(t) (om f'(t) inte är 0.)
Läs t.o.m. Ex. 3.

8.4

Båglängd går väl bra om man förstod det förut; area kan vara litet knepigare men motiveras vid Fig. 8.30 i det fallet att kurvan är sådan att y kan betraktas som en funktion av x och påpekas sedan gälla i mera allmänna fall som i Fig. 8.31-33. Speciellt beräknas här ellipsarean i Ex. 3. För övning 11, minns hur areaelementet dS är relaterat till båglängdselementet ds (s. 426).

8.5

Polära koordinater är mycket viktiga, inte minst i fall då man har någon sorts rotationssymmetri. Vi kommer att använda dem i samband med dubbelintegraler i kursens del 4. I övningarna 32-37 har Adams plötsligt kallat vinkeln för t i stället för det grekiska theta och jag följer detta, eftersom jag inte har tillgång till grekiska bokstäver här.
En polär kurva r = f(t) kan ses som en parameterkurva (x, y) = (f(t)cos t, f(t)sin t) men oftast är det mer fruktbart att tolka den direkt m.hj.a. polära koordinater.
Observera att då man betraktar polära kurvor r = f(t) så tillåter man ofta negativa r trots att r först definierats som avståndet till origo; om man inte gjorde det skulle man t.ex. i Ex. 5 (a) bara få två blad på kurvan, nämligen de två längs x-axeln som hör till t-värden för vilka cos(2t) är positivt; för Pi/4 < t < 3Pi/4 är cos(2t) negativt och man får det nedåtriktade bladet längs y-axeln, trots att dessa t-riktningar är uppåt, eftersom r = cos(2t) är negativt. Jag tycker nog att Adams kunde understrukit detta tydligare. Om r < 0 så har punkten [r, t] egentligen koordinaterna [-r, t + Pi] eftersom -r då är positivt.

8.6

Det räcker om du läser om area och båglängd.

Kapitel 9

9.1

Här ges definitioner, grundläggande terminologi och några satser om följder av reella tal. En följd är en funktion från mängden av alla heltal större än eller lika med ett visst tal, vanligen 0 eller 1, till mängden av reella tal (man kan förstås också definiera följder av t.ex. heltal eller komplexa tal). En följd kan vara nedåt begränsad, dvs. ha en undre begränsning, uppåt begränsad, dvs. ha en övre begränsning, positiv, negativ, växande, avtagande, monoton, alternerande (men behöver inte vara något av dessa, t.ex. a_n = tan n). Oftast är det bara viktigt om följden slutligen (eng. ultimately), dvs. från och med ett visst index, har en viss egenskap; de första hundra miljonerna termer påverkar inte dess konvergens eller divergens.
Reglerna s. 522 och längst ner på s. 523 (fullständighetsegenskapen) skall du kunna, liksom givetvis satserna.
I Ex. 7 är det enklare att sätta y = 1/x och ta gränsvärdet då y -> 0. Resultatet i Ex. 9 bör du känna igen.

9.2

Givet en följd (a_n) kan man definiera en annan följd kallad serien Summa(a_n) som är följden (s_n), där s_n är seriens n:te partialsumma Summa(j = 1..n)(a_j). Med detta betraktelsesätt är det egentligen ingen skillnad mellan följder och serier, men intuitionen är annorlunda.
Du skall kunna beräkna geometrisk summa (ändlig) och summan av en geometrisk serie (om den konvergerar); detta är en standardserie, med vilken andra serier jämförs. Satserna skall du kunna, i synnerhet att termerna i en konvergent serie måste gå mot 0 men att detta inte räcker för konvergens, som den harmoniska serien illustrerar. Vid teleskoperande serier blir det särskilt tydligt att det är frågan om en följd, eftersom man där har ett mycket enkelt uttryck för s_n.

9.3

Du skall kunna och kunna bevisa de olika konvergenskriterierna. Integralkriteriet ger oss p-serien som tillsammans med geometriska serier är användbara vid jämförelser, som enklast utförs på den form som ges i Sats 10 eftersom man ibland har svårigheter att få olikheten att gå åt rätt håll när man vill använda Sats 9. Kvot- och rotkriterierna fungerar bara på serier som är starkt konvergenta eller divergenta (misslyckas t.ex. med p-serien) men är praktiska när seriens termer innehåller en massa multiplikation.

9.4

I förra avsnittet handlade det bara om positiva serier vilket enligt Sats 13 kan utsträckas till godtyckliga serier så länge som de är absolutkonvergenta. För betingat konvergenta har vi framför allt Sats 14, som jag är van att kalla Leibniz' konvergenskriterium. Detta gäller dock bara alternerande serier; för mera generella serier har vi inga allmänna kriterier. Att betingat konvergenta serier kan omordnas till att ge vilket resultat som helst (Sats 16) finner jag fascinerande. Adams ger inget formellt bevis, men Ex. 7 ger en illustration.

9.5

Potensserier kan i någon mån betraktas som ''polynom med oändligt många termer'' så länge man håller sig innanför konvergensradien (grundläggande begrepp!) vilket illustreras av att det är fritt fram att addera, multiplicera, derivera och integrera dem på samma sätt som polynom, dvs. termvis. Sats 17 och 19 skall du kunna bevisa. Notera hur konvergensradien beräknas med hjälp av kvotkriteriet; man kan också använda rotkriteriet på ungefär samma sätt.

9.6

Här och i föregående avsnitt härleds (Taylor- och) Maclaurinutvecklingar av våra vanligaste funktioner. Dessa skall du kunna! Jämför f.ö. avsnitt 4.8, där funktionerna är framställda som polynom plus restterm; här ser vi att resttermen är svansen av potensserien. Märk metoderna att konstruera nya Maclaurin- och Taylorserier ur redan kända i Ex. 3-6. Att e^x, sin x och cos x är lika med sina serier visas här genom att de uppfyller samma differentialekvationer, vilket hjälper oss bara delvis eftersom vi inte läst avsnitt 3.7, som Ex. 2 hänvisar till (hänvisningen till 3.1 är ett tryckfel). Ett annat bevis kommer i avsnitt 9.8.

9.7

Typiska tillämpningar av serierna är beräkning av närmevärden och av gränsvärden. Märk hur Sats 15 om Leibnizkonvergenta serier i avsnitt 9.4 kan användas för att uppskatta felet i approximationen. Märk också att Maclaurinutveckling ofta är överlägsen l'Hôpitals regel vid gränsvärdesberäkning.
Ledning till övning 3: använd resultatet i övning 1.

9.8

Här möter vi åter Taylors formel med restterm. Genom att uppskatta resttermens storlek kan man bedöma hur många termer som behövs för att uppnå en viss approximation. Ex. 2 och diskussionen omedelbart före visar hur man kan få att e^x är lika med sin Maclaurinserie utan att hänvisa till differentialekvationer; sin x och cos x kan behandlas på precis samma sätt, vilket f.ö. syns mig naturligare.
Sats 23 ger ett annat sätt att skriva resttermen, uppnått genom att bevisa Taylors formel via upprepad partiell integration. Om detta bevis är enklare än det i avsnitt 4.8 kan man ha olika uppfattningar om men det räcker att kunna ett!

9.9

Binomialsatsen är välkänd; nu får vi lära oss hur det blir när exponenten inte är ett positivt heltal. Man får precis samma sorts koefficienter (de kallas fortfarande binomialkoefficienter) men det blir nu en oändlig serie, inte ett polynom. Du behöver inte kunna beviset, men se hur serien används i Ex. 2 och 3 för att härleda utvecklingen av arcsin x.

Kapitel 17

17.1

Sats 1 och 2 är fundamentala för studiet av linjära differentialekvationer. Till Sats 2 kan läggas att varje lösning av den inhomogena ekvationen är av denna typ: givet en lösning till den inhomogena ekvationen (en partikulärlösning) är varje lösning den lösningen plus en lösning till den homogena ekvationen.

17.2

Separabla ekvationer är sådana som kan omformas till en likhet mellan två integraler; den svårighet som uppstår utöver beräkningen av de primitiva funktionerna är om man vill lösa ut y som funktion av x eftersom resultatet av integrationen ger en likhet av formen G(y) = F(x) + C och det kan vara svårt att få ut y explicit; resultatet kan t.o.m. bero på värdet på C, så om man har ett begynnelsevillkor av typen y(a) = b är det klokt att använda det för att bestämma C innan man försöker lösa ut y.
Ekvationer av typen dy/dx = f(y/x) har mig veterligt inget särskilt namn på svenska men leder via substitutionen v = y/x till en separabel ekvation. Som synes i Ex. 4 kan man få anstränga sig litet för att inse att ett visst högerled är av typen f(y/x) (liksom det f.ö. finns ekvationer som man inte omedelbart ser är separabla). (Ex. 4 är väl egentligen inget lysande exempel eftersom man kan börja med att förkorta bort x + y i högerledet och genast få en separabel ekvation.)

17.4

Lär dig metoden med integrerande faktor snarare än dess resultat (som något ologiskt är markerat på s. 992). Så länge man kan beräkna integralerna kan man alltså lösa alla linjära ODE av 1:a ordningen.

17.5

Läs översiktligt. Den som vill pröva på användning av kalkylprogram eller grafritande räknare för numerisk lösning av ODE ger sig på övn. 1-3. Entydighetssatsen innehåller i sin formulering några flervariabelbegrepp som vi ju inte behandlat än, men budskapet är att vid ''snälla'' högerled så har begynnelsevärdesproblem entydig lösning.

17.6

Nu går vi till 2:a ordningens ODE. Detta avsnitt ger tekniker i de fall då antingen y eller x inte förekommer explicit i ekvationen eller, i det homogena fallet, då man redan känner en lösning (Ex. 3). Den senare tekniken kommer till användning i teorin i nästa avsnitt.

17.7

För att allmänt kunna lösa ekvationer av högre ordning förutsätter vi att de är linjära och har konstanta koefficienter. Verktyget är den karakteristiska ekvationen (eng. auxiliary equation, ordagrant hjälpekvationen) och detta behandlas i detalj för ordning 2; resultatet för högre ordning är en enkel konsekvens men det räcker att du klarar övningarna. Att lösningen i Fall III blir som det påstås utreds i övningarna 3.7.18-21, men det behöver du inte svara för. Däremot kan det vara upplysande att läsa s. 219-222 om svängningsrörelser.
ODE av Eulers typ kan antingen lösas som i texten eller genom substitutionen x = e^t som leder till en linjär ODE med konstanta koefficienter (med y som obekant funktion och t som variabel).

17.8

I förra avsnittet såg vi hur man får fram den allmänna lösningen till homogena linjära ODE med konstanta koefficienter. Nu skall vi tillåta andra högerled än 0 och som redan påpekats i avsnitt 17.1 får vi då den allmänna lösningen genom att till den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation (kallad complementary function på engelska; många säger ''den homogena lösningen'' på svenska men denna horrör bör skys som pesten) lägga någon lösning till den inhomogena ekvationen (partikulärlösning). I elementära fall görs det genom en ansats enligt sammanställningen på s. 1018; observera där att n kan vara 0 i vilket fall polynomen A_n, B_n och P_n bara är konstanter - Adams' ansträngning att ge en generell formulering har väl gjort det hela litet svårläst.
Helt generell är metoden med variation av parametrar men priset för denna generalitet är som alltid att den blir onödigt krånglig i speciella fall (se Ex. 3); f.ö. skall ju u₁ och u₂ beräknas genom integration vilket inte säkert går att göra explicit.

17.9

Avslutningsvis något om att lösa ODE med serieansats,vilket leder till rekursiva relationer mellan seriens koefficienter. För ett enklare exempel än dem givna i texten, lös y' = y med den här metoden; resultatet borde bli välbekant.