MAL610. Anvisningar vid studiet av Adams kap P-4

Kapitel P

P.1

Öppna intervall skrivs numera (åtminstone i Sverige i elementära kurser!) ]a, b[ hellre än (a, b) eftersom det senare skrivsättet kan ha många tolkningar, t.ex. som en punkt i planet. Men i den här kursen blir det väl svårt att avvika från bokens skrivsätt!
Vid lösning av olikheter, undvik att multiplicera med något vars tecken kan variera. Se ex. 5.
Absolutbelopp är förvirrande för många. Den bästa tolkningen (enligt TW) är avstånd; | x - y | är avståndet mellan x och y. Se ex. 7 och dess Remark. Ex. 9 innehåller flera notabla steg. Triangelolikheten gäller även för t.ex. komplexa tal och vektorer, i vilka fall dess geometriska namn är mer välförtjänt.

P.2

Räta linjens ekvation skall man naturligtvis kunna fram- och baklänges.

Ordlista

origin		origo
Cartesian coordinates		cartesiska koordinater
Cartesian plane		talplan
increment		tillskott (kan vara negativt! Se ex. 1)
parabola		parabel - hur många säger parabol?!
slope		riktningskoefficient, lutning
inclination		riktningsvinkel
reciprocal		inverterat värde
point-slope equation		enpunktsformen av räta linjens ekvation
general linear equation		allmänna formen av räta linjens ekvation
two-intercept equation		interceptformen av räta linjens ekvation

P.3

Observera att cirkeln är endimensionell medan cirkelskivan är tvådimensionell - man talar ju ofta om "cirkelns area" vilket formellt sett inte är korrekt (men man orkar inte vara helt korrekt alltid). Ellipser och hyperbler är försummade i dagens skola - man behöver inte exercera dem som på min gymnasietid, men nog bör man känna till deras utseende och viktigaste egenskaper. Det som boken kallar rektangulära hyperbler borde väl mera logiskt heta kvadratiska hyperbler eftersom poängen där är att a = b.

Ordlista

centre (of circle)		medelpunkt
the interior		det inre
the exterior		det yttre
disk (även disc)		cirkelskiva
directrix		styrlinje
shift		parallellförflyttning
principal axes		huvudaxlar, principalaxlar
major axis		storaxel
minor axis		lillaxel

P.4

Reellvärda funktioner av reella variabler är bokens huvudtema.

Ordlista

domain		definitionsmängd, domän
range		värdemängd
unique		entydigt bestämt, ett och endast ett

P.5

Här har vi de vanligaste sätten att bilda nya funktioner ur givna. Märk att t.ex. f + g är en funktion medan f(x) + g(x) är ett funktionsvärde, nämligen värdet av f + g i punkten x.
Studera noga ex. 4 och 5; märk att f o g och g o f i allmänhet är skilda funktioner (Andrejs Dunkels' exempel är att det spelar roll om man klär sig eller duschar först).
Ex. 7: ofta definierar man sgn (0) = 0 men Adams avstår från detta, sannolikt därför att med hans definition är sgn(x) precis derivatan av |x|.
Det svenska namnet på the greatest integer function är heltalsdelen, vilket kan verka något ologiskt för negativa tal, eftersom t.ex. [-1.2] = -2. För floor, least integer eller ceiling finns mig veterligt ingen svensk terminologi.

Ordlista

composite function		sammansatt funktion
piecewise defined		styckvis definierad
greatest integer function		heltalsdelen

P.6

Även om vi kommer att fortsätta att tala om 45^o och 90^o vinklar så är den definitiva principen när man sysslar med matematisk analys att vinklar mäts i radianer, dels därför att det inte är godtyckligt (varför skall ett varv vara just 360^o?), dels därför att det är det enda som fungerar vettigt när man deriverar de trigonometriska funktionerna (som f.ö. kallas så eftersom de har med triangelmätning att göra; enligt Adams kallas de även circular functions men det har jag aldrig hört på svenska).
Notera halva kvadraten i ex. 3 och halva liksidiga triangeln i ex. 4; de trigonometriska funktionernas värden för dessa vinklar skall man kunna ta fram snabbt om man inte kan dem utantill. Tabell 5 kompletterar till vinklarna inom ett halvt varv.
Notera varningen högst upp s. 47.
Trig.formlerna s. 47-48 samt additionsformeln för tan är ett absolut minimum att kunna.
De trig. funktioner man bör kunna är sin, cos och tan samt möjligen cot (som dock helt enkelt är 1/tan) medan sec och csc som amerikanerna verkar så förtjusta i lämnar svenskarna helt kalla.
Triangelsolvering enligt s. 51-53 bör man inte vara främmande för.

Ordlista

arc length		båglängd
the Pythagorean identity		trigonometriska ettan
complementary angle		komplementvinkel
supplementary angle		supplementvinkel
Sine Law		sinussatsen
Cosine Law		cosinussatsen

Kapitel 1

Gränsvärden är det som särskiljer matematisk analys från andra matematiska områden. Grundläggande begrepp som bygger på gränsvärden är kontinuitet, derivata och integral.

1.1

Här ges några exempel som kan studeras i mån av intresse; ex. 1-4 är i själva verket en introduktion till derivator. Läs gärna s. 58-59 som förklarar varför samma tal pi dyker upp både för cirkelns omkrets och dess area.

1.2

Nu börjar kursen på allvar!
I den informella definitionen 1 av gränsvärde bör tillfogas att x inte får vara lika med a för att det skall stämma med hur Adams faktiskt använder gränsvärdesbegreppet - se ex. 5. Olika författare har olika uppfattning på denna punkt, men jag håller med Adams, och jag tror att det är den vanligaste versionen: en eventuell "felaktig" definition av f(a) får inte fördärva existensen av gränsvärdet av f då x går mot a.
Studera hela avsnittet mycket noga! Lägg märke till förlängningen med konjugatkvantiteten i ex. 4(c); det är ett mycket typiskt sätt att hantera differenser som innehåller kvadratrötter.
Sats 2 säger att gränsvärden uppför sig så väl som man någonsin kunde hoppas vid algebraiska operationer, vilket bl.a. har som konsekvens att gränsvärden av polynom och rationella funktioner beräknas genom insättning av gränspunkten (så länge som inte nämnaren blir 0); detta är innehållet i ex. 9 och sats 3.
Instängningslagen (Squeeze Theorem) är mycket användbar.
Obs att gränsövergång bevarar icke-sträng olikhet men att sträng olikhet kan övergå i icke-sträng (dvs. likhet!) i gränsen; t.ex. är x² > 0 då x är skilt från 0 men lim x² = 0 då x -> 0.

1.3

I ex. 2 kom ihåg hur man drar kvadratroten ur x²! (Svar: |x|)
I ex. 3, 4, marginalen s. 72 och ex. 9 lär vi oss gränsvärdet av rationella funktioner i +-oo.
Det som i boken kallas infinite limits kallar vi oegentliga gränsvärden eftersom gränsvärdet inte existerar som ett tal. Se kommentarerna i ex. 6 och 7.
I ex. 5 ser vi åter nyttan av att använda konjugatkvantiteten för att översätta en differens mellan kvadratrötter till en differens som går att räkna ut.

1.4

En funktion är kontinuerlig i en punkt om gränsvärdet i punkten överensstämmer med funktionsvärdet där, kontinuerlig på ett intervall om den är kontinuerlig i varje punkt i intervallet (intuitivt: dess graf på intervallet är sammanhängande) och kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd. Punkter utanför definitionsmängden är irrelevanta; se ex. 4.
De vanliga sätten att kombinera funktioner bevarar kontinuitet: sats 6 (bygger direkt på sats 1.2.2) och sats 7 (vars bevis är övning 1.5.37, men man kan också gå till App. III sats 1(b)).
En funktion kan ha en kontinuerlig utvidgning (ex. 7) eller ha en hävbar diskontinuitet (ex. 8).
Kontinuerliga funktioner på slutna, begränsade (kompakta) intervall har många trevliga egenskaper. De

• är begränsade (App. III sats 5)
• antar maximum och minimum (sats 8; App. III sats 6)
• antar mellanliggande värden (sats 9; App. III sats 7)
• är likformigt kontinuerliga (App. IV sats 4; läses ej nu)

Ex. 9 visar värdet av kvadratkomplettering; efter nästa kapitel använder väl de flesta derivata för att lösa ett sådant problem, men kvadratkompletteringen är väl så upplysande.
Ex. 10 och 11 är typiska användningar av satsen om mellanliggande värden, och ex. 12 visar hur man kan använda intervallhalvering för att approximativt bestämma en rot till en ekvation.

1.5

Här kvantifieras det kvalitativa gränsvärdesbegrepp vi hittills haft, vilket är nödvändigt för att kunna bevisa de påståenden om gränsvärden som vi hittills bara tacksamt fått beskrivna för oss. Alltså: hur nära (delta) måste x vara a för att f(x) skall vara så nära (epsilon) L som vi önskar oss?
Beräkningar byggda på def. 9 blir ganska svettiga: ex. 2 är väl OK, men redan ett så simpelt fall som ex. 3 är ju ganska jobbigt. Därför skyndar man sig att bevisa gränsvärdesregler; se ex. 4 (och övn. 31-38, men alla dessa orkar man inte; ledningen till övn. 38 tycker jag f.ö. är ganska misslyckad).
Den strikta definitionen av andra typer av gränsvärden med var sitt exempel kommer i def. 10-12.

Kapitel 2

Differentiation blir på svenska derivering.

2.1

Linjär approximation är en grundläggande princip; för kurvor i planet handlar det om att söka deras tangent i en given punkt på kurvan. Det som definieras i def. 1 är givetvis derivatan, vilket vi får veta i nästa avsnitt. Det skadar inte att se några exempel där man beräknar derivatan ur sin definition, men vi skall snart få deriveringsregler. På svenska används inte namnet Newtonkvot för differenskvoten.

2.2

Hela avsnittet oundgängligt. Jag har en invändning mot hans diskussion av egenskapen att anta mellanliggande värden sist i avsnittet: denna egenskap kan endast diskuteras beträffande intervall som är delmängder av funktionens definitionsmängd så det är meningslöst att säga att signum-funktionen inte antar mellanliggande värden på ett intervall som innehåller origo - frågan uppstår inte eftersom origo inte tillhör signum-funktionens definitionsmängd. Att f' har egenskapen bör alltså uttryckas: på varje intervall [a, b] som ingår i definitionsmängden för f' antar f' varje värde mellan f'(a) och f'(b).

2.3

Här kommer de grundläggande deriveringsreglerna och att deriverbarhet implicerar kontinuitet. Allt detta skall du kunna, kunna tillämpa och kunna bevisa.
Det "grafiska" beviset för produktregeln är väl väl så lättfattligt som manövern i beviset s. 112 (som i och för sig är ganska vanlig).
I beviset av regeln för hur man deriverar inverterade värdet av en funktion, sats 4, finns en subtilitet som han hoppat över, nämligen att f(x + h) inte får vara 0; om bara h är tillräckligt litet så följer det av f:s kontinuitet eftersom f(x) inte är 0 - tag h så litet att avståndet mellan f(x) och f(x + h) är mindre än avståndet mellan f(x) och 0.

2.4

Kedjeregeln behövs för att kunna derivera sammansatta funktioner och vid tillämpningen gäller det att kunna identifiera hur sammansättningen är gjord. g'(x) i formeln överst s. 119 brukar kallas inre derivatan; mera sällan kallar man f'(g(x)) för yttre derivatan. Det bästa sättet att tänka på proceduren ger Adams i anmärkningen mellan ex. 2 och ex. 3 på s. 120.
Om sammansättningen är gjord i många led blir derivatan produkten av derivatorna i vart och ett av leden.
Beviset av kedjeregeln kan tyckas onödigt krångligt, men den "enkla" varianten i övn. 46 fungerar inte eftersom vi inte kan vara säkra på att inte g(x + h) - g(x) är 0 och då förekommer division med 0 i ett av leden i "beviset". Dock kan den "enkla" varianten vara ett stöd för att komma ihåg själva regeln.

2.5

Derivatorna av de trigonometriska funktionerna härleds ur det grundläggande gränsvärdet i sats 8, vilket bevisas med en geometrisk metod och instängningslagen, och gränsvärdet i ex. 1.
Vi brukar skriva derivatan av tan x som 1/cos² x eftersom vi inte använder sec; notera att denna derivata också kan skrivas 1 + tan² x vilket har fördelen att endast tangensfunktionen själv förekommer; detta har man t.ex. nytta av när man vill derivera arcustangensfunktionen (kap. 3) eller om man får för sig att försöka tala om hur högre derivator av tan ser ut.

2.6

Blanda inte ihop medelvärdessatsen, som är en sats om deriverbara funktioner, med satsen om mellanliggande värden, som är en sats om kontinuerliga funktioner (och alltså för all del gäller för deriverbara funktioner eftersom sådana är kontinuerliga!). Notera noga förutsättningarna:

• kontinuitet på det slutna intervallet
• deriverbarhet på det öppna intervallet

Det är naturligtvis inte förbjudet att ha deriverbarhet på hela det slutna intervallet, men det är alltså inte nödvändigt.
Sats 12 och 13 är viktiga konsekvenser av medelvärdessatsen. Sats 12 är grunden för kurvritning baserad på studium av derivatan.
Vad gäller funktioners växande råder tyvärr följande terminologiförvirring:

Adams		svensk standard
increasing		strängt växande
decreasing		strängt avtagande
nondecreasing		växande
nonincreasing		avtagande

En partiell omvändning till sats 12 är att en växande deriverbar funktion har icke-negativ derivata, vilket lätt visas ur derivatans definition. Däremot behöver inte en strängt växande funktion ha positiv derivata i varje punkt; om t.ex. f(x) = x³ så är f strängt växande men f'(0) = 0.
Sats 14 är intressant för sin egen del och säger i ord att varje extrempunkt på ett öppet intervall är en stationär punkt.
Rolles sats är fr.a. av intresse som komponent i beviset av medelvärdessatsen och är f.ö. ett specialfall av denna.
Sats 16 kallas även Cauchys medelvärdessats.
Du skall kunna bevisa alla satser i detta avsnitt.

2.7

Läs i mån av intresse. Jag vet inte om det finns någon bra svensk terminologi för "rate of change"; "förändringshastighet" låter inte så kul. Sambandet mellan genomsnittskostnad och marginalkostnad i övn. 35 kanske kan vara intressant.

2.8

En derivata är ofta själv deriverbar, vilket leder till förekomsten av högre derivator.

2.9

Det teoretiskt mest intressanta här är beviset för potenslagen med rationell exponent. I nästa kapitel kommer den för godtycklig exponent.

2.10

När man vänder på deriveringsprocessen handlar det om att söka en primitiv funktion (eng. antiderivative) eller den obestämda integralen till en funktion. Det är inte alltid så lätt, men en lista på några vi kan finns på s. 156. Differentialekvationer skall vi ägna oss åt mer senare.

2.11

Hastighet och acceleration är en av de vanligaste tillämpningarna på derivator. Ibland använder man på svenska ordet "fart" som översättning av "speed" och det skall då betyda absolutbeloppet av hastigheten, men det är knappast standard.

Kapitel 3

Här kommer de viktiga exponential- och logaritmfunktionerna samt arcusfunktionerna.

3.1

En enentydig funktion f har en invers f^-1 vars definitionsmängd är lika med f:s värdemängd och vice versa. Speciellt intresserar man sig för funktioner som är strängt växande (eller strängt avtagande) och med ett intervall (t.ex. hela reella axeln) som definitionsmängd. Om den dessutom är kontinuerlig så har inversen samma egenskaper, och om den är deriverbar så är inversen det också och sambandet s. 177 gäller.
Givet en formel för f(x) får man en formel för f^-1(x) genom att lösa ekvationen x = f(y) med avseende på y (om man kan!); se ex. 1 och 2.
På s. 176 visas hur man kan göra en icke inverterbar funktion till en inverterbar funktion genom att inskränka definitionsmängden. Detta skall vi utnyttja i samband med de trigonometriska funktionerna. (Standardterminologin skall visst vara omvändbar, inte inverterbar, men den har svårt att slå igenom.)

3.2

Här ges ett antal egenskaper hos exponential- och logaritmfunktioner som man skall vara förtrogen med, men dessa funktioners verkliga definitioner kommer först i nästa avsnitt. I fig. 3.8 (a) skall -10 bytas mot 1/10 och 1/10 skall bytas mot 10 (!)

3.3

Här definieras först ln i termer av area (som vi inte har definierat! Det görs först i kap. 5. Här bygger vi på ett intuitivt areabegrepp för att inte behöva vänta längre på att införa dessa funktioner). Ur definitionen härleds logaritmlagarna och att värdemängden är hela R.
exp-funktionen definieras sedan som invers till ln och har därför definitionsmängd R och värdemängd R₊. Märk att man sedan kollar att e^r = exp r för alla r för vilka e^r är definierat, nämligen de rationella, varefter man utan motsägelser kan definiera e^x = exp x för alla reella x.
Skälet till att e är så viktigt ser vi när derivatan av e^x beräknas.
Nu kan allmänna exponential- och logaritmfunktioner definieras; eftersom allt kan återföras på dem med bas e behövs de egentligen inte, men de med bas 10 eller 2 är någorlunda vanliga. Nu kan vi också äntligen derivera den allmänna potensfunktionen x^a och till vår glädje finna att den har derivatan a x^a-1 som väntat.
Obs tekniken i ex. 7 att skriva om en potens med variabel exponent så att den får bas e innan man försöker derivera; det allmänna fallet beskrivs omedelbart under rubriken "Logarithmic Differentiation". Pröva gärna att göra ex. 8 med tekniken i ex. 7. Logaritmisk derivering är fr.a. praktisk när man har produkter och kvoter med många faktorer som i ex. 9. I ex. 10 kan man lägga märke till att man inte bryr sig om att sätta upp det allmänna uttrycket för du/dx innan man sätter in värdet på x; det skulle bara ge extra skrivarbete.

3.4

Bevistekniken i sats 4 är värd att notera.
Egenskaperna i sats 5 skall man vara helt klar över! Storleksordningar är viktiga! Somliga säger att tillståndet i världen vore bättre om människan bara kunde begripa exponentiell tillväxt. Den typiska differentialekvationen och dess lösning ges i det markerade på s. 195 med en lätt generalisering, som också gott kunde markerats, på s. 196 mellan ex. 2 och ex. 3.
Sats 6 är viktig och visar ett annat sätt på vilket e^x kunde definierats.
Alla tillväxt- och sönderfallsmodellerna är intressanta; vem hade t.ex. trott att talet e hade med ränta på ränta att göra?

3.5

De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och antar därför varje värde i värdemängden oändligt många gånger, så de är inte inverterbara per se, men lämpliga restriktioner är. Viktigast är arcsin och arctan. Adams har av för mig outgrundlig anledning valt att skriva dessa sin^-1 och tan^-1, vilket jag tycker bara kan leda till förvirring och definitivt inte är standard.
Märk att sin(arcsin x) = x överallt där arcsin är definierad, alltså på [-1, 1], medan däremot arcsin(sin x), som är definierat för alla x, bara är lika med x om x tillhör det rätta intervallet [-pi/2, pi/2]; annars är arcsin(sin x) det tal i det intervallet som har samma sinus som x.
Analoga anmärkningar gäller arctan.
arctan är definierad på hela R, är strängt växande och (ändå) begränsad; ett annat exempel på en sådan funktion är x/(1 + |x|).
Du skall kunna härleda arcus-funktionernas derivator.
Studera exemplen, inte minst användningen av hjälptrianglar och tekniken att visa identiteter via att derivatan av differensen mellan VL och HL är 0. (Jämför beviset av sats 2 s. 185.)

3.6

De hyperboliska funktionerna har många formella likheter med de trigonometriska. "Hyperboliska ettan" (s. 211, upptill) innehåller dock ett minustecken men det kompenseras man för genom att inget minustecken dyker upp vid upprepad derivering. Detta avsnitt är mest orienterande och du behöver inte bry dig om de inversa funktionerna.

3.7

Läser vi inte. Differentialekvationer kommer senare i kursen.

Kapitel 4

Vi får nu se diverse tillämpningar av derivator. Författaren varnar dock för att man inte skall hoppas för mycket på "realistiska" tillämpningar då sådana vanligen är alldeles för komplicerade för att passa i en elementär kurs.

4.1

"Related rates", vad det nu kan heta på svenska, introducerades först som en tillämpning för att underlätta analysstudierna; på senare tid har vissa propagerat för att det skall tas bort eftersom det är för svårt! Främst handlar det om att översätta problemtext till matematiskt symbolspråk. Mycket nyttigt! Ett recept på att hantera denna blygsamma form av matematisk modellering får man i det markerade s. 227-228.

4.2

Detta är väl den allra vanligaste användningen av derivata. Den teoretiska basen ges i sats 1 och 2 som väsentligen upprepar sats 1.4.8 resp. 2.6.14 som vi sett förut.
När man bestämt derivatan och funnit de punkter där derivatan är 0 (stationära eller kritiska punkter) eller inte existerar (singulära punkter) vill man veta huruvida de är extrempunkter. Det kan man ta reda på genom att göra teckenstudium på derivatan. Jag tycker inte riktigt om hur Adams presenterar teckenschemat (ex. 3, 4). Man bör inte blanda x-värdena och derivatans tecken, utan de bör ha var sin rad. EP, CP och SP tycker jag är onödig bråte. Vidare kan informationstätheten ökas genom att man i stället för "lok min" eller "lok max" skriver dit funktionsvärdet i punkten. Vid obegränsade intervall kan man gärna skriva dit funktionens gränsvärde i oändligheten (minus oändligheten) längst till höger (vänster) om det existerar.

4.3

Den svenska terminologin för "concave up" är konvex och för "concave down" är konkav vilket är hur kurvor av resp. typ ser ut när man betraktar dem nerifrån. (Den terminologi som Adams använder förekommer bara i elementära läroböcker och är med förlov sagt ett missfoster. Möjligen är det praktiskt att kunna tala om att man studerar kurvans konkavitet, men man studerar ju kurvors växande utan att för den skull kalla avtagande för att växa nedåt!) Dessa begrepp kan definieras med hjälp av huruvida kordor ligger över eller under kurvan - se fig. 4.19 - men Adams har valt att förutsätta deriverbarhet i sin definition för att slippa bevisa hur det allmännare begreppet förhåller sig till deriverbarhet. För 2 ggr deriverbara funktioner ger andraderivatan besked - positiv andraderivata ger konvexitet (en "glad mun") och negativ ger konkavitet (en "ledsen mun"). Detta kan också användas för att karakterisera stationära punkter, även om jag i de flesta fall föredrar att använda teckenschemat för förstaderivatan, för det vill man oftast ha ändå.

4.4

Detta är i mycket en sammanfattning av de två föregående avsnitten, men aspekter som asymptoter och symmetri tillkommer. Av någon anledning nämner inte Adams hur man skall hitta sneda asymptoter annat än genom def. 7 och (d) på s. 250. Metoden är: undersök först om f(x) / x har något gränsvärde i (+ el. -) oändligheten; om detta gränsvärde är a, undersök sedan om f(x) - ax har något gränsvärde i samma oändlighet; om detta gränsvärde är b så är y = ax + b en asymptot till y = f(x).
Man kan naturligtvis i viss mån ifrågasätta kurvritning för hand när det finns grafräknare, men allt den senare gör är ju att plotta enstaka punkter på funktionskurvan, och det krävs insikt för att veta hur "sann" den bild är som man får i räknarens fönster. Vårt mål bakom kurvritningen här är ju också snarare att förstärka förståelsen för hur derivatorna ger upplysningar om en funktions beteende.

4.5

Fler "word problems" (benämnda uppgifter kallades de under min skoltid). Åter gäller det att tolka dem till matematik och sedan att kunna behandla dem. Receptet på s. 259 blir rätt abstrakt om man bara läser det, men jämför med exemplen och lös många uppgifter.

4.6

Båda dessa ekvationslösningsmetoder är lätta att programmera på en räknare (och knappast hanterliga för hand, även om det ibland kan vara intressant att se hur approximationerna utvecklar sig steg för steg). Övn. 1 leder till ett sätt att approximera kvadratroten ur 2 som var känt redan för babylonierna för ca 4000 år sedan. Om räknaren kan skriva sina tal på bråkform så kan man här se successivt bättre rationella approximationer av roten ur 2.

4.7

Att linearisera problem för att kunna behandla dem är ett mycket typiskt tillvägagångssätt i matematik. Ett sätt att betrakta derivata och tangent är att det handlar just om det. Tangenten i en punkt på en kurva är den bästa linjära approximationen av kurvan i närheten av punkten. Ex. 3 är en typisk tillämpning.
Detta avsnitt är också en inledning till 4.8. Läs t.o.m. s. 277.

4.8

Viktigt avsnitt! Taylors formel visar hur man kan approximera godtyckliga tillräckligt deriverbara funktioner med polynom, som ju är den snällast tänkbara formen av funktioner. (De bildas ju med användning av endast de tre räknesätten.) Du skall kunna bevisa den åtminstone i fallet n = 2; i själva verket kan det vara en nyttig övning att skriva om bokens bevis för just detta fall (fallet k = 2 i beviset). Fallen 0 och 1 har vi, som han påpekar i beviset, sett förut, nämligen som medelvärdessatsen (s. 131) resp. sats 9 s. 275.
Big-O kallas på svenska stort ordo och är mycket praktiskt då man vill ange storleksordningen av funktioner utan att vara onödigt precis. Det är ofta gradtalet hos resttermen i Taylors formel som är det viktiga, inte precis vilka koefficienter den har.
Entydighetssatsen 11 visar att Taylorpolynomet av grad n är det polynom av grad n som bäst approximerar funktionen. Den skall du kunna bevisa.
Taylors formel kring x = 0 brukar kallas Maclaurins formel. På s. 286 ges plötsligt Maclaurins formel för flera elementära funktioner. Du kan kontrollera dem (utom för arctan) genom att derivera funktionen upprepade gånger och se att koefficienten för x^k i högerledet verkligen är f^(k)(0) / k! Adams' egen utredning av detta kommer först i kap. 9.
Maclaurins formel är ett specialfall av Taylors formel men är samtidigt tillräckligt generell för att inkludera Taylors formel: givet f, låt g(t) = f(a + t), använd Maclaurins formel på g och sätt sedan t = x - a så får man Taylors formel för f kring x = a. (Tänk igenom detta!)

4.9

Maclaurins formel lämpar sig utmärkt väl för gränsvärdesberäkningar eftersom den ger funktioners storleksordning i termer av lätthanterliga funktioner. Lägg märke till hur man i ex. 2 gör ett variabelbyte för att kunna använda Maclaurins formel i stället för Taylors formel kring x = 1, precis som jag beskrev i slutet av 4.8. Det är mycket enklare att tänka på att något skall vara nära 0 (dvs. vara litet!) än att tänka på att det skall vara nära någon annan punkt.
Studenter brukar (till skillnad från oss lärare, som föredrar Maclaurinutveckling) älska l'Hôpitals regel till övermått, men använd med omdöme kan den vara användbar. Jämför ex. 1 och 2 med ex. 4 resp. 3. Du skall kunna bevisa l'Hôpitals regel i fallet x -> a+.
Studera exemplen för att se hur olika obestämda uttryck kan omformas till de grundläggande [0 / 0] eller [oo / oo].