Vi undersäker nu om f(x) har faktor av grad 2 genom att ansätta f(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d), där vi kan förutsätta att och eftersom polynomet är primitivt, och att Utveckling ger ekvationssystemet
Den sista ekvationen ger alternativen och . Första alternativet ger 1=3a-c i tredje ekvationen, som tillsammans med första ekvationen ger orimlighten a=1/4 (ej heltal). Andra alternativet ger 1=-3a+c i tredje ekvationen, som tillsammans med första ekvatioen ger orimlighten a=-1/4. Därmed är polynomet irreducibelt.
svar: Polynomen i b och c är irreducibla.
Vi bestämmer egenvektorer hörande till vart och ett av egenvärdena genom att bestämma en vektor sådan att Radoperationerna ovan ger
så (t.ex.) är egenvektorer hörande till respektive 2.Vi har nu att där D är den diagonala matrisen med och 2 längs huvuddiagonalen. Sätter vi har vi att C är inverterbar ty egenvektorerna hör till olika egenvärden. Vi får AC=CD, dvs A=CDC-1.
svar: A=CDC-1, där och .
Eftersom polynomet p(x)=x3+4x+6 är av grad 3 räcker det att visa att det saknar faktor av grad 1. En sådan motsvarar ett nollställe i enligt faktorsatsen. Vi har
Alltså är p(x) irreducibelt.Vi bestämmer inversen till genom att bestämma en största gemensam delare till p(x) och x2+3x+6 med Euklides algoritm:
p(x)=(x+4)(x2+3x+6)+3
I ger detta som ger Multiplikation med 2 gersvar:
f(x)=(x2+2x-1)(x2+6x+7)
Eftersom faktorerna är irreducibla har vi kroppen där . Vi får (i enlighet med faktorsaten).Vi undersöker om x2+6x+7 faktoriserar i K[x] genom att söka ett nollställe i K. Kvadratkomplettering ger 0=x2+6x+7=(x+3)2-2. Vi sätter och ska lösa . Detta ger ekvationssystemet
Den sista ekvationen ger 0=2b(a-b), dvs b=a eller b=0. Första alternativet ger a2=1, dva i första ekvationen. Vi har alltså eller . Detta ger att .svar:
Vi undersöker om faktoriserar. Eftersom och p(4)=p(-1)=1 och polynomet är av grad 3 är det irreducibelt enligt faktorsatsen. Vi har därför att om och endast om xn=1 i Vi ska bestämma ordningen av som är en grupp av ordning (och 31 är ett primtal). Enligt Lagranges sats gäller att ordnigen av x delar . Den är alltså eller 124. Den är uppenbarligen inte 1 eller 2. Vi har
Följdens period är alltså 62.svar: 62.