Lösning till tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 2, 98 08 22.

4.

Eftersom $\mathbb Q(\alpha)=\mathbb Q[x]/x^{2}+2x-1$ gäller det att visa att $p(x)=x^{2}+2x-1\in \mathbb Q[x]$ är irreducibelt. Polynomet möjliga rationella nollställen är $\pm 1$ och inget duger. Eftersom polynomet är av grad 2 är det därför irreducibelt enligt faktorsatsen.

För att invertera $1+\alpha$ bestämmer vi en största gemensam delare till p(x) och x+1 med Euklides algoritm:

p(x)=(x+1)(x+1)-2

I $\mathbb Q(\alpha)$ ger detta $0=p(\alpha)=(\alpha+1)(\alpha+1)-2,$ dvs $1=(\alpha/2+1/2)(\alpha+1).$

svar: $(\alpha+1)^{-1}=\alpha/2+1/2$

5.

Vi bestämmer inversen till B och undersöker om A är inverterbar genom att göra radoperationer på (A|I) respektive (B|I):

$$(A\vert I)\rightarrow \left(\begin{array} {rrr\vert rrr} 1&... ... 1&0&0&0&2&1\\ 0&1&0&1&1&1\\ 0&0&1&1&1&2\end{array}\right)$$

$$(B\vert I)\rightarrow \left(\begin{array} {rrr\vert rrr} 1&... ...1&0&0&1&0&2\\ 0&1&0&0&2&1\\ 0&0&1&0&0&1\end{array}\right)$$

Vi ser att A är inverterbar och vi får X=A^-1B^-1, dvs

$$X=\left(\begin{array} {rrr} 0&2&1\\ 1&1&1\\ 1&1&2\end{arr... ...egin{array} {rrr} 0&1&0\\ 1&2&1\\ 1&2&2\end{array}\right).$$

svar: $x=\left(\begin{array} {rrr} 0&1&0\\ 1&2&1\\ 1&2&2\end{array}\right).$

6.

Vi skriver om f(x) och g(x) med hjälp av $u(x)=1+x+x^{2}+\cdots=1/(1-x)$ och utnyttjar att $u(x)^{m}=\sum_{i}{i+m-1\choose m-1}x^{i}.$

Eftersom ${i+2\choose 2}=(i+2)(i+1)/2$ och ${i+1\choose 1}=i+1$ har vi

$$\begin{array} {rcl} f(x)&=&\sum_{i}(4{i+2\choose 2}-5{i+1\c... ...1}{(1-x)^{2}}+\frac{1}{1-x}=\frac{2-x}{(1-x)^{2}} \end{array}$$

Vi får

$$\begin{array} {rcl} f(x)g(x)&=&\frac{(1+x/2+x^{2}/2)(2-x)}{... ...1-x/2)^{2}}+\frac{C}{1-x}+ \frac{D}{(1-x)^{2}}, \end{array}$$

enligt reglerna för partialbråksuppdelning. Handpåläggning ger B=8 och D=16. Vi sätter in x=0 och x=-2 (som vi väljer för att de är enkla att sätta in) och får

$$\left\{\begin{array} {rcl} 2&=&A+8+C+16\\ 1/9&=&A/2+2+C/3+16/9\end{array}\right.$$

som löses av $A=22,\,C=-44.$ Vi har nu

$$f(x)g(x)=\sum_{i}(22\cdot 2^{-i}+4(i+1)2^{-i}-44+16(i+1))x^{i}$$

svar: $f(x)g(x)=\sum_{i}((4i+26)2^{-i}+16i-28)x^{i}$.

7.

Vi undersöker om p(x)=x³+x²+1 faktoriserar i $\mathbb Z/5[x]$. Vi har $p(0)=1,\,p(1)=3,\,p(2)=3,\,p(-2)=2$ och p(-1)=1, så polynomet är irreducibelt enligt faktorsatsen eftersom det har grad 3. Vi har alltså kroppen $K=\mathbb Z/3(\alpha),$ där $\alpha^{3}=4+4\alpha^{2},$ och $p(\alpha)=0.$ Eftersom koefficienterna är i $\mathbb Z/5$ har vi också att $0=p(\alpha)^{5}=p(\alpha^{5})$. Vi beräknar $\alpha^{5}$:

$$\begin{array} {l} \alpha^{4}=\alpha\alpha^{3}=4\alpha+4(4+4... ...lpha^{2}+(4+4\alpha^{4})= 4+\alpha+3\alpha^{2}\\ \end{array}$$

Faktorsaten ger att

$$\begin{array} {l} (x-\alpha)(x-4-\alpha-3\alpha^{2})=x^{2}+... ...2}+(1+3\alpha+2\alpha^{2})x+2+4\alpha+3\alpha^{2} \end{array}$$

delar p(x):

$$p(x)=(x^{2}+(1+3\alpha+2\alpha^{2})x+2+4\alpha+3\alpha^{2}) (x+2\alpha+3\alpha^{2})$$

svar:$\parbox{8cm}{ $K=\mathbb Z/5(\alpha),$\space där $\alpha^{3}=4+4\alpha^{2}$\\ $p(x)= (x+4\alpha)(x+1+4\alpha+2\alpha^{2}) (x+2\alpha+3\alpha^{2})$}$

8.

Vi sätter $f(x)=\sum_{i}a_{i}x^{i}$ och har att $(1+3x+4x^{2}+2x^{3}+x^{4})f(x)=\\ (1+3x+4x^{2}+2x^{3}+x^{4})(1+x+3x^{2}+0x^{3}+\cdots )=1+4x$. För att bestämma perioden ska vi bestämma det minsta positiva heltalet n så att $(1-x^{n})f(x)=\\ (1-x^{n})(1+4x)/(1+3x+4x^{2}+2x^{3}+x^{4})$ är ett polynom. Detta är samma sak som att bestämma ordningen av x i gruppen $(\mathbb Z/5[x]/1+3x+4x^{2}+2x^{3}+x^{4})^{\times}$

Vi undersöker om f(x)=1+3x+4x²+2x³+x⁴ faktoriserar och ser att f(2)=0, så f(x)=(x+3)(x³+4x²+2x+2). Men även för g(x)=x³+4x²+2x+2 gäller g(2)=0, så f(x)=(x+3)²(x²+x+4)=(x+3)²(x+3)²=(x+3)⁴.

De polynom i Z/5[x]/(x+3)⁴ som är inverterbara är de som inte delas av x+3. Antalet som delas av x+3 är 5³. Antalet element i gruppen $(\mathbb Z/5[x]/(x+3)^{4})^{\times}$ är alltså $5^{4}-5^{3}=500=5^{3}\cdot2^{2}$. Enligt Lagranges sats delar ordningen av x talet 500, dvs ordningen är $1,\,2,\,4,\,5,\,10,\,20,\,25,\,50,\,100,\,125,\,250$ eller 500. Den är uppenbarligen varken 1 eller 2.

$$\begin{array} {l} x^{4}=4+2x+x^{2}+3x^{3}\\ x^{5}=4x+2x^{2... ...{2}+3x^{3})=2\\ x^{10}=(x^{5})^{2}=4\\ x^{20}=1 \end{array}$$

Följdens period är alltså 20.

svar: 20.