Lösningar till tentamen i Aritmetik och algebra, del 2, 98 xx 03.

1.

Det gäller att visa att $p(x)=x^{3}-x-1\in \mathbb Q[x]$ är irreducibelt. Eftersom polynomet har grad 3 räcker det att visa att det saknar faktor av grad 1, vilket är samma sak som att visa att det saknar rationellt nollställe enligt Faktorsatsen. De möjliga rationella nollställena är $\pm 1.$ Inget duger. Därför är $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{3}=1+\alpha$ en kropp. Det giva polynomet har nollställena $-1\pm \alpha$ och delas därför enligt Faktorsatsen av $(x+1-\alpha)(x+1+\alpha)=(x+1)^{2}-\alpha^{2}=x^{2}+2x +1-\alpha^{2}.$ Division ger

$$x^{3}+(3-3\alpha)x^{2}+(3-6\alpha+4-\alpha^{2})= (x+1-3\alpha)(x^{2}+2x+1-\alpha)$$

Det återstående nollstället är alltså $-1+3\alpha.$

svar: $-1\pm \alpha$ och $-1+3\alpha.$

2.

Vi undersöker först om A och B är inverterbara. Om så är fallet ges X av X=A^-1CB^-1.

Radoperationer ger:

$$\left(\begin{array} {r\vert r}A&I\end{array}\right)\rightarr... ...begin{array} {rr\vert rr}1&0&-5&2\ 0&1&-3&1\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array} {r\vert r}B&I\end{array}\right)\rightarr... .../2&0\ 0&1&0&-1/2&1/2&1\ 0&0&1&1/2&-1/2&0\end{array}\right).$$

Detta ger

$$\begin{array} {l} A^{-1}=\left(\begin{array} {rr}-5&2\ -3&... ...{array} {rrr}15&-11&-10\ 9&-7&-6\end{array}\right).\end{array}$$

svar: $X=\left(\begin{array} {rrr}15&-11&-10\ 9&-7&-6\end{array}\right).$

3.

Sätt $f(x)=\sum_{i}(2i^{2}+3)x^{i}.$ Om vi multiplicerar f(x) med $ux()=1+x+x^{2}+\cdots+x^{i}+\cdots=1/(1-x)$ får vi en ny potensserie vars koefficient framför xⁿ är den sökta summan.

Vi skriver om f med hjälp av u och utnyttjar att $u(x)^{m}=\sum_{i}{i+m-1\choose m-1}x^{i}:$

$$f(x)=\sum_{i}(4(i+2)(i+1)/2-6(i+1)+5)x^{i}=4u(x)^{3}-6u(x)^{2}+5u(x).$$

Multiplikation med u(x) ger

$$\begin{array} {rcl} u(x)f(x)&=&4u(x)^{4}-6u(x)^{3}+5u(x)^{2}... ...))x^{i}=\ &=&\sum_{i}(2i^{3}/3+i^{2}+10i/3+3)x^{i}\end{array}$$

Koefficienten framför xⁿ är alltså (2n³+3n²+10n+9)/3.

svar: Summan är (2n³+3n²+10n+9)/3.

4.

De gemensamma nollställena till $f(x)=x^{4}+2x^{3}-(3-5\alpha)x^{2}+2x-4+5\alpha$och $g(x)=x^{3}+(1-\alpha) x^2+(3\alpha -6)x-1+4\alpha$ är nollställen till en största gemensam delare till dem. Vi bestämmer först en sådan med hjälp av Euklides algoritm:

$$\begin{array} {rcl} f(x)&=&(x+1+\alpha)g(x)-\ & &\mbox{}-... ...(x)+(3+\alpha)x^{2}+(6+2\alpha)x+(-7+6\alpha)\ & &\end{array}$$

Vi förenklar resten genom att multiplicera med $(3+\alpha)^{-1}.$Euklides algoritm ger $0=\alpha^{2}+\alpha-1=(\alpha-2)(\alpha+3)+5,$dvs $(\alpha+3)^{-1}=(2-\alpha)/5.$ Förenklingen av resten blir:

$$\begin{array} {l} ((2-\alpha)/5)((3+\alpha)x^{2}+(6+2\alpha)... ...+2x+(-14+19\alpha-6\alpha^{2})/5=x^{2}+2x-4+5\alpha.\end{array}$$

Vi fortsätter med att bestämma en största gemensam delare till f och g:

$$\begin{array} {rcl} g(x)&=&(x-(1+\alpha))(x^{2}+2x-4+5\alph... ...alpha^{2})\ &=& (x-(1+\alpha))(x^{2}+2x-4+5\alpha)\end{array}$$

Divisionen gav resten 0. En största gemensam delare till f och g är den sista ickeförsvinnande resten dvs $x^{2}+2x-4+5\alpha.$ Vi bestämmer detta polynoms nollställen i $\mathbb Q(\alpha).$

Kvadratkomplettering ger

$$x^{2}+2x-4+5\alpha=(x+1)^{2}-5(1-\alpha).$$

Sätter vi $x+1=a+b\alpha$ ska vi lösa ekvationen $(a+b\alpha)^{2}=5-5\alpha,$ där $a,\,b\in \mathbb Q.$ Detta ger ekvationssystemet

$$\left\{\begin{array} {rcl} a^{2}+b^{2}&=&5\ 2ab-b^{2}&=&-5\end{array}\right.$$

Addition av de båda ekvationerna ger 0=a²+2ab=a(a+2b), dvs a=0 eller a=-2b. Det första alternativet ger b⁵=0 i första ekvationen, som saknar rationell lösning. Det andra alternativet ger $b=\pm,$ så $x+1=a+b\alpha=\pm(2-\alpha)$ och $x=-3+\alpha$ och $x=1-\alpha.$

svar: $-3+\alpha$ och $1-\alpha.$

5.

Vi sätter $f(x)=\sum_{i}a_{i}x^{i}$ och p(x)=1+3x+4x²+2x⁴. Vi har då att

$$p(x)f(x)=(1+3x+4x^{2}+2x^{4})(4+4x+2x^{2}+3x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots)= 4+x,$$

dvs

$$f(x)=\frac{4+x}{1+3x+4x^{2}+2x^{4}}= \frac{4+x}{1+3x+4x^{2}+2x^{4}}.$$

Uppgiften är att bestämma det minsta positiva heltalet n så att $p(x)\,\vert\,(4+x)(1-x^{n}).$

Vi bestämmer en största gemensam delare till p(x) och 4+x med Euklides algoritm:

$$\begin{array} {rcl} p(x)&=&(2x^{3}+2x^{2}+x+4)(x+4) \end{array}$$

En största gemensam delare är x+4. Alltså gäller att $p(x)\,\vert\,(4+x)(1-x^{n})$ om och endast om $q(x)\,\vert\,1-x^{n},$ där q(x)=x³+x²+3x+2. Vi ska alltså bestämma ordningen av x i gruppen $(\mathbb Z/5[x]/q(x))^{\times}.$

Vi faktoriserar först q(x). Vi ser att x=2 är ett nollställe. Faktorisering enligt Faktorsatsen ger

q(x)=(x-2)(x²+3x+4)=(x+3)(x²+3x+4)

Polynomet x²+3x+4 saknar nollställe och är därför irreducibelt eftersom det är av grad 2.

Ringen $\mathbb Z/5[x]/q(x)$ består av alla poynom av grad $\leq 2$samt 0. Den innehåller alltså 5³=125 element. Gruppen $(\mathbb Z/5[x]/q(x))^{\times}$ består av alla polynom av grad $\leq 2$ som är relativt prima med q(x). De som inte är relativt prima med q(x) delas av x+3 eller x²+3x+4. Det finns 5² polynom (av grad $\leq 2$ eller =0) som delas av x+3. Det finns 5 som delas av x²+3x+4. Bara 0 delas av båda. Detta ger att gruppen innehåller $125-(25+5-1)=96=3\cdot 2^{5}.$

Enligt Lagranges sats delar ordingen av x talet 96, dvs den är $1,\,2,\,3,\,4,\,6,$ $8,\,12,\,16,\,24,\,32,\,48,$ eller 96. Den är inte 1 eller 2, ty $x\not=1\not=x^{2}.$ I ringen gäller att 0=x³+x²+3x+2. Detta ger

$$\begin{array} {rcl} x^{3}&=&3+2x+4x^{2}\ x^{4}&=&3x+2x^{2... ...2+x+3x^{2})=4\ x^{8}&=&4x^{2}\ x^{12}&=&4^{2}=1 \end{array}$$

Ordingen av x är alltså 12 och därmed är följdens period 12.

svar: 12.