Lösningar till tentamen i Aritmetik och algebra, del
2, 98 xx 05.
- 4.
- Det gäller att visa att är
irreducibelt. Eftersom polynomet har grad 3 räcker det att visa att
det saknar nollställe i enligt Faktorsatsen. Vi har
Därmed är p(x) irreuducibelt och där
en kropp.
För att bestämma inversen till använder vi Euklides
alogritm för en största gemensam delare till polynomen och
Baklänges ger detta
så svar:
- 5.
- Det gäller att visa att är
irreducibelt. Eftersom polynomet är av grad 3 räcker det att visa
att det saknar rationellt nollställe, enligt Faktorsatsen. De möjliga
rationella nollställena är men inget duger. Därmed är p(x)
irreducibelt och där en kropp.
Vi vet att har nollställena Enligt
faktorsatsen delas f(x) av
Vi bestämmer kvoten genom division:
Det återstående nollstället är alltså svar: och
- 6.
- Vi försöker diagonalisera A och söker därför egenvärden, dvs värden
på så att rangen av är Vi gör
radoperationer:
Vi ser att rangen är om eller om
Egenvärdena är alltså och 3.
Vi bestämmer en egenvektor hörande till vart och ett av dessa
egenvärden (genom att anväda räkningarna ovan):
Vi har (t.ex.) egenvektorerna och Vi har alltså att
eller AC=CD, där
Eftersom kolonnerna i C hör till olika egenvärden är de linjärt
oberoende och C har därför rang 3 och är därmed inverterbar. Vi
har A=CDC-1 och An=CDnC-1. Eftersom
återstår det att bestämma C-1 innan vi kan bestämma An.
Vi gör radoperationer på
Detta ger att C-1 är den högra halvan av matrisen.
Vi har nu
svar: Se ovan.
- 7.
- Rekursionsekvationens karaktäristiska polynom är
q(x)=x3-x2+x-1=(x-1)(x2+1)=(x-1)(x-i)(x+i), med nollställena
1 och av multiplicitet 1.
Den allmänna lösningen till rekursionsekvationen
ges därför av
an=A1n+Bin+C(-i)n,
där och C ska bestämmas så att och
a2=2. Detta ger ekvationssystemet
med lösning och C=(-1-i)/4.
svar: an=(6+(-1+i)in-(1+i)(-i)n)/4.
- 8.
- Vi skriver om f och g med hjälp av
Vi har
och får:
där A och C bestäms med handpålggning till och
Sätter vi x=0 får vi 3=A+B+C=2+B, så
B=1. Detta ger
svar: