- 4.
- Vi försöker faktorisera nämnaren g(x)=x4+2x3+5x2+6x+6. De möjliga
rationella nollställena är och De
positiva talen är uteslutna. Vi har och
samt Rationellt nollställe saknas. Vi försöker faktorisera som produkt av
två rationella polynom av grad 2. Ansätt
g(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d), där och (polynometär primitivt). Vi får ekvationssystemet
Sista ekvationen ger att b och d delar 6. En genomgång av
möjligheterna ger att och c=0 löser
ekvationssystemet. Vi har alltså g(x)=(x2+2x+2)(x2+3).
Partialbråk med rationella koefficienter ger ansatsen
Hopmultiplicering av ansatsen och jämförelse av koefficienter ger
med lösning
svar: (1+2x)/(x2+2x+2)+(2x-1)/(x2+3).
- 5.
- Vi söker egenvärden till A genom att bestämma värden på så
att rangen av är Radoperationer ger
Vi ser att rangen är om och
Egenvärdena är alltså och 6.
Vi söker egenvektorer hörande till vart och ett av dessa egenvärden
och utnyttjar räkningen ovan:
Vi får (t.ex.) egenvektorerna respektive
Sätter vi så är
C inverterbar ty vektorerna är linjärt oberoende eftersom de hör
till olika egenvärden. Sätter vi
så har vi A=CDC-1.
svar: Se ovan.
- 6.
- Sätter vi p(x)=1-4x-2x2=1+x+3x2 har vi att
Detta ger f(x)=(1+3x)/p(x) och därmed 1/f(x)=p(x)/(1+3x).
Division ger 3x2+x+1=x(3x+1)+1. Vi får
svar:
- 7.
- Koefficienten framför xn i
är antalet sätt att skriva n som en summa av talen och
7. Potensserien f(x) är alltså problemets genererande funktion.
Om vi sätter p(x)=(1-x2)(1-x3)(1-x5)(1-x7) gäller att
f(x)=1/p(x), dvs p(x)f(x)=1. Utveckling av p(x) ger
p(x)=(1-x2-x3+x5)(1-x5-x7+x12)=1-x2-x3+x8+
x9-x14-x15+x17
Koefficienterna an i f(x) uppfyller därför sambandet
Svar:
- 8.
- För att visa att ringen är en kropp ska vi visa att är irreducibelt. Eftersom polynomet är av grad 2 är
detta samma sak som att visa att det saknar rationellt nollställe
enligt Faktorsatsen. De möjliga rationella nollställena är och
Vi har och p(3)=3. Inget av
de möjliga rationella nollställena duger. Därmed är p(x)
irreducibelt och där är en kropp.
Vi löser ekvationen genom att först göra en kvadratkomplettering:
Om vi sätter
där ska vi alltså lösa
ekvationen Utveckling av vänstra ledet ger
ekvationssystemet
Multiplikation av den nedre ekvationen med -3 och addtion av
resultatet till den övre ger 0=a2-6ab=a(a-6b), så a=0 eller
a=6b. Det sista alternativet ger 13b2=1, som saknar rationell
lösning. Det första alternativet ger som duger. Vi får
alltså Svar: