Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 2, 98 01 17.

1.

Formulera och bevisa faktorsatsen för polynom i K[x], där K är en kropp.

2.

(a)

Vad menas med att ett polynom i K[x], där K är en kropp, är irreducibelt?

(b)

Visa att varje polynom av grad $\geq 1$ i K[x] kan skrivas som en produkt av irreducibla polynom.

3.

Formulera och bevisa Eisensteins kriterium.

4.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{2}=-3\alpha-1$ är en kropp och bestäm inversen till $2+\alpha\in \mathbb Q(\alpha).$

5.

Matrisen

$$A=\left(\begin{array} {rrr}2&2&4\\ 1&3&2\\ 1&4&2\end{array}\right)$$

har element i $\mathbb Z/5.$ Bestäm matriser C och D så att A=CDC^-1 och D är diagonal.

6.

Polynomet $f(x)=x^{3}+(\alpha-1)x^{2}+(1+3\alpha)x-11\alpha-4$ har koefficienter i kroppen $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{2}=-3\alpha-1.$ Man vet att $1-\alpha$ är ett nollställe till f(x). Bestäm samtliga nollställen till f(x) i $\mathbb Q(\alpha).$

7.

Beräkna summan

$$\sum_{i=0}^{n}a_{i},$$

där de rationella talen a_n definieras rekursivt av $a_{0}=1,\,a_{1}=3/2$ och a_n=3a_n-1/2-a_n-2/2, när $n\geq 2.$

8.

Bestäm en så liten kropp K som möjligt, som innehåller $\mathbb Z/5$ och är sådan att polynomet $x^{4}+3x^{2}+4\in \mathbb Z/5[x]$ faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x].

Förslag till svar:

4) $\alpha+1$    5) $C=\left(\begin{array} {rrr} 3 & 3 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ och $D=\left(\begin{array} {rrr}0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)$    6) $1-\alpha,\,\pm\alpha$    7) 2n+2^-n    8) $\mathbb Z/5(\alpha),$ där $\alpha^{2}=4\alpha+3$ och $x^{4}+3x^{2}+4=(x+4\alpha)(x+\alpha)(x+4+4\alpha)(x+\alpha+1).$