Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 2, 98 04 04.

1.

Formulera och bevisa faktorsatsen för polynom i K[x], där K är en kropp.

2.

(a)

Låt K vara en kropp. Vad menas med att vektorerna $\mathbf v_{1},\,\mathbf v_{2},\ldots, \mathbf v_{n}$ i K^m är linjärt oberoende?

(b)

Låt A vara en $m\times m-$matris med element i kroppen K. Visa att om $\mathbf v_{1},\,\mathbf v_{2},\ldots, \mathbf v_{n}\in K^{m}$ är egenvektorer till A som hör till olika egenvärden, så är de linjärt oberoende.

3.

Formulera och bevisa Eisensteins kriterium.

4.

Matrisen X med element i $\mathbb Z/5$ har egenskapen att AX=B, där

$A=\left(\begin{array} {rrr}1&0&2\\ 0&3&2\\ 4&2&2\end{array}\right)$ och $B=\left(\begin{array} {rr}1&0\\ 2&1\\ 2&2\end{array}\right).$

Bestäm X.

5.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{4}=3\alpha-4,$ är en kropp och invertera elementet $\alpha.$

6.

Bestäm en så liten kropp K som möjligt, som innehåller $\mathbb Z/5,$ så att $x^4+3x^2+3\in \mathbb Z/5[x]$ faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x]. Ange faktoriseringen.

7.

Bestäm produkten av $f(x)=\sum_{i=0}(i-1)x^{i}$ och $g(x)=\sum_{i=0}2^{-i}x^{i}$ i $\mathbb Q[[x]].$

8.

Ringen $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{2}=1+\alpha$ är en kropp. Bestäm de gemensamma nollställena till polynomen $x^4+2x^3+\alpha x^2+2x+\alpha-1$ och
$x^3+(1-\alpha)x^2-(\alpha +3)x-\alpha$ i $\mathbb Q(\alpha).$

Skrivningen beräknas vara färdigrättad fredagen den 17 april. Den kan återfås samma dag i mottagningsrummet för matematik i matematiskt centrum. Mottagningen är öppen kl 12.00-13.00.

Förslag till svar:

4) $\left( \begin{array} {rcl} 1&4\\ 4&0\\ 0&3\end{array}\right)$   5) $\alpha^{-1}=3/4-\alpha^{3}/4$   6) $K=\mathbb Z/5(\alpha),$ där $\alpha^{4}=2\alpha^{2}+2$ och $x^{4}+3x^{2}+3=(x+4\alpha)(x+\alpha)(x+3\alpha+3\alpha^{2}) (x+2\alpha+2\alpha^{2}).$
7) $f(x)g(x)=\sum_{i}(2i-4+3\cdot 2^{-i})x^{i}.$   8) $-\alpha$ och $-2+\alpha.$