Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 2, 98 05 23.


1.
Formulera och bevisa faktorsatsen för polynom i K[x], där K är en kropp.
2.
Visa att varje polynom av grad $\geq 1$ i K[x], där K är en kropp, kan skrivas som en produkt av irreducibla polynom.

3.
Formulera och bevisa Gauss lemma.

4.
Vilket eller vilka av följande polynom är irreducibla i $\mathbb
Q[x]$?

a) x3-3x2+4x-4    b) x4+x-3    c) x15-25x13+85x7-15x3+1235.

Motivera noggrant!

5.
Bestäm, om möjligt, en inverterbar matris C och en diagonal matris D, så att A=CDC-1, när

\begin{displaymath}
A=\left(\begin{array}
{rrr}
 0&1&1\\  0&1&1\\  2&1&2\end{array}\right)\end{displaymath}

med element i $\mathbb Z/3.$

6.
Visa att $\mathbb Z/7(\alpha),$ där $\alpha^{3}=3\alpha+1,$ är en kropp och bestäm inversen till $\alpha^{2}+3\alpha+6\in \mathbb
Z/7(\alpha)$.

7.
Bestäm en så liten kropp K som möjligt, som innehåller $\mathbb Q,$ så att polynomet f(x)=x4+8x3+18x2+8x-7 faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x]. Ange faktoriseringen.

8.
Följden $a_{n},\,n\geq 0$ i $\mathbb Z/5$ definieras rekursivt av

\begin{displaymath}
\begin{array}
{l}
a_{0}=1,\,a_{1}=1,\,a_{2}=4\\ a_{n}=4a_{n-2}+4a_{n-3},n\geq 3.\end{array}\end{displaymath}

Bestäm följdens period.

Skrivningen beräknas vara färdigrättad fredagen den 29 maj. Den kan återfås samma dag i mottagningsrummet för matematik i matematiskt centrum. Mottagningen är öppen kl 12.00-13.00.

Lösningar finns på kursens hemmsida:

www.math.chalmers/Math/Grundutb/GU/MAN011/V98-2/

efter skrivningstidens slut.