Tentamen i Aritmetik och algebra, del 2, 98 xx 02.

1.

Visa att om en formell potensserie $f(x)\in K[[x]],$ där K är en kropp, är inverterbar om och endast om $f(0)\not=0.$

2.

Formulera och bevisa Eisensteins kriterium.

3.

(a)

Vad menas med en största gemensam delare till två polynom i K[x], där K är en kropp?

(b)

Formulera och bevisa Bezouts identitet för en största gemensam delare till två polynom f och g.

4.

Visa att $\mathbb Z/5(\alpha),$ där $\alpha^{3}=1+3\alpha$ är en kropp och invertera elementet $3+2\alpha+\alpha^2.$

5.

Bestäm en bas för lösningsrummet till ekvationssystemet $A\mathbf x=\mathbf 0,$ där

$A=\left(\begin{array} {rrrrr}1&4&-2&5&0\\ 3&-2&4&0&1\\ -3&16&-14&15&-2\\ -4&26&-22&25&-3\end{array}\right),$

har element i $\mathbb Q.$

6.

En talföljd i $\mathbb Q$ definieras rekursivt av $a_{0}=1,\,a_{1}=2$ och
$a_{n}=2a_{n-1}+3a_{n-2},\,n\geq 2.$ Beräkna a_n.

7.

Bestäm en så liten kropp K som möjligt, som innehåller $\mathbb Q,$så att polynomet $(x^2-3)(x^2+3x-1)\in \mathbb Q[x]$ faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x]. Ange faktoriseringen i K[x].

8.

Beräkna summan

$$\sum_{i=0}^{n}(i+2)(n-i)^{2}3^{-i}4^{i-n}.$$

Förslag till svar

4) $1+4\alpha^2.$   5) T.ex. $(-6,5,7,0,0),\,(-10,-15,0,14,0),\,(-4,1,0,0,14).$
6) a_n=(3ⁿ⁺¹+(-1)ⁿ)/4 7) T.ex. $K=\mathbb Q(\alpha,\beta),$ där $\alpha^{2}=3$ och $\beta^{2}=1-3\beta.$ $(x^2-3)(x^2+3x-1)=(x+\alpha)(x-\beta)(x+3+\beta)(x-\alpha).$
   8) (84n-708)3^-n+(6n²+120n+708)4^-n.