Tentamen i Aritmetik och algebra, del 2, 98 xx 03.

1.

(a)

Vad menas med att ett polynom i K[x], där K är en kropp är irreducibelt?

(b)

Visa att om f är ett polynom i K[x], där K är en kropp, så kan det skrivas som en produkt av irreducibla polynom i K[x].

2.

Låt K vara en kropp. Formulera och bevisa divisionsalgoritmen i K[x].

3.

Formulera och bevisa Gauss lemma.

4.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{3}=1+\alpha$ är en kropp. Polynomet $x^3+(3-3\alpha)x^2+(3-6\alpha-\alpha^2)x+4-\alpha^2\in \mathbb Q(\alpha)[x]$ har nollställena $-1\pm \alpha\in \mathbb Q(\alpha).$Bestäm polynomets samtliga nollställen i $\mathbb Q(\alpha).$

5.

Om $2\times 3$-matrisen X med element i $\mathbb Q,$ vet man att AXB=C, där

$A=\left(\begin{array} {rr}1&-2\\ 3&-5\end{array}\right),\, B=\left(\begin{array} {rrr}1&0&1\\ 1&0&-1\\ 0&1&1\end{array}\right)$ och $C=\left(\begin{array} {rrr}0&2&-4\\ 2&0&-2\end{array}\right).$

Bestäm X.

6.

Beräkna summan $\sum_{i=0}^{n}(2i^{2}+3)$ i $\mathbb Q.$

7.

Ringen $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{2}=1-\alpha$ är en kropp. Bestäm de gemensamma nollställena till polynomen $x^4+2x^3-(3-5\alpha)x^2+2x-4+5\alpha$ och
$x^3+(1-\alpha) x^2+(3\alpha -6)x-1+4\alpha$ i $\mathbb Q(\alpha).$

8.

Följden a_n i $\mathbb Z/5$ definieras rekursivt av

$\begin{array} {l}a_{0}=4,\,a_{1}=4,\,a_{2}=2,\,a_{3}=3\\ a_{n}=2a_{n-1}+a_{n-2}+3a_{n-4},\,n\geq 4.\end{array}$

Bestäm följdens period.

Förslag till svar:

4) $-1\pm\alpha,\,-1+3\alpha$   5) $\left(\begin{array} {rrr}15&-11&-10\\ 9&-7&-6\end{array}\right)$   6) 2n³/3+n²+10n/3+3
7) $1-\alpha,\,-3+\alpha$   8) 12.