Tentamen i Aritmetik och algebra, del 2, 98 xx 05.

1.

Visa att ett primitivt polynom i $\mathbb Z[x]$ är irreducibelt i $\mathbb Z[x]$ om och endast om det är irreducibelt i $\mathbb Q[x].$

2.

Visa att om K är en kropp och p(x) är ett irreducibelt polynom i K[x], så är K[x]/p(x) en kropp.

3.

Låt A vara en $m\times m-$matris med koefficienter i kroppen K och $\mathbf v_{1},\,\mathbf v_{2},\ldots,\mathbf v_{n}$ egenvektoer till A som hör till olika egenvärden. Visa att egenvektorerna är linjärt oberoende.

4.

Visa att $\mathbb Z/7(\alpha),$ där $\alpha^{3}=5+2\alpha,$ är en kropp och invertera elementet $3+5\alpha^2.$

5.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{3}=1+\alpha$ är en kropp. Polynomet $x^3+(3-3\alpha)x^2+(3-6\alpha-\alpha^2)x+4-\alpha^2\in \mathbb Q(\alpha)[x]$ har nollställena $-1\pm \alpha\in \mathbb Q(\alpha).$ Bestäm polynomets samtliga nollställen i $\mathbb Q(\alpha).$

6.

Beräkna Aⁿ, där n är ett heltal $\geq 0$ och

$A=\left(\begin{array} {rrr} 1&0&2\\ 5&2&5\\ 3&2&1\end{array}\right).$

har element i $\mathbb Z/7.$

7.

En talföljd i $\mathbb Q$ definieras rekursivt av $a_{0}=1,\,a_{1}=1,\,a_{2}=2$ och $a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-3},\,n\geq 3.$ Beräkna a_n.

8.

Bestäm produkten av $f(x)=\sum_{i=0}(i+3)x^{i}$ och $g(x)=\sum_{i=0}2^{i}x^{i}$ i $\mathbb Z/5[[x]].$

Förslag till svar:

4) $6+\alpha+2\alpha^2$   5) $-1\pm\alpha,\,-1+3\alpha$   6)$A^{n}=\left(\begin{array} {rrr}3^{n}+5&3^{n+1}+5&5\cdot3^{n}+1\\ 3^{n+1}+3&2\cdot 3^{n}+3&3^{n}+2\\ 3^{n}&3^{n+1}&5\cdot 3^{n}\end{array}\right)$   7) a_n=iⁿ(i-1+(-1)ⁿ⁺¹(1+i))/4+3/2.    8) $\sum_{i=0}(3\cdot 2^i+4i+4)x^{i}$