Tentamen i Aritmetik och algebra, del 2, 98 xx 06.

1.

Formulera och bevisa faktorsatsen för ett polynom i K[x], där K är en kropp.

2.

Visa att varje polynom $f\in K[x],$ där K är en kropp, kan skrivas som en produkt av irreducibla polynom i K[x].

3.

Formulera och bevisa Eisensteins kriterium.

4.

Dela upp

$$\frac{4x^3+4x^2+8x+1}{x^4+2x^3+5x^2+6x+6}$$

i partial bråk med rationella koefficienter.

5.

Bestäm, om möjligt, matriser C och D, där D är diagonal, så att A=CDC^-1, och

$A=\left(\begin{array} {rrr}5&0&2\\ 3&-3&3\\ 1&0&4\end{array}\right)$

har element i $\mathbb Q.$

6.

Bestäm inversen till $f(x)=\sum_{i=0}a_{i}x^{i}\in \mathbb Z/5[[x]],$ där $a_{0}=1,\,a_{1}=2$ och $a_{n}=4a_{n-1}+2a_{n-2},\,n\geq 2.$

7.

Låt a_n vara antalet sätt att skriva det icke-negativa heltalet n som en summa av ett antal av talen $2,\,3,\,5$ och 7. Ange ett uttryck för den genererande funktionen och bestäm en rekursionsekvations som satisfieras av a_n.

8.

Visa att ringen $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{2}=3+\alpha$ är en kropp. Lös ekvationen $x^2+4x+1-\alpha=0,$ där $x\in \mathbb Q(\alpha).$

Förslag till svar:

4) $\frac{2x-1}{x^2+3}+\frac{2x+1}{x^2+2x+2}$
   5) $C=\left(\begin{array} {rrr}1&0&2\\ 0&2&1\\ -1&0&1\end{array}\right)$ och $D=\left(\begin{array} {rrr}1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&2\end{array}\right).$
   6) $1+3x+4x^{2}+\cdots+2^{i}x^{i}+\cdots.$
   7) $\sum_{i=0}a_{i}x^{i}=1/((1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{5})(1-x^{7})),$ a_n=a_n-2+a_n-3-a_n-8-a_n-9+a_n-14+ a_n-15-a_n-17,
när $n\geq 17.$
   8) $x=-2\pm \alpha$