Datorlaboration 3 (D3) i Linjär Algebra

Börja med att gå igenom MATLAB-handledningens avsnitt 6.5 och 6.6.

1.

Betrakta matrisen $n \times n-$ matrisen A_n vars element består av idel ettor, utom diagonalelementen som alla är nollor.

(a): Bestäm determinanten av A_n för några olika n. Ställ upp en allmän hypotes om vilket värde determinanten har för godtyckligt n.
(b): Bestäm inversen av A_n för några olika värden på n. Ställ upp en hypotes om hur inversen ser ut för allmänt n!
(c): Bestäm egenvärdena för A_n för några olika n. Ställ upp en allmän hypotes!
(d): Använd kommandot eig för att diagonalisera A_n för några olika n. Bestäm en egenvektor som hör till det största egenvärdet. Finn en allmän hypotes!

2.

Betrakta för olika parametervärde p matrisen $A=\left[\begin{array} {rrr} 1 & -2 & \; 0 \ -2 & p & \; 2 \ -3 & 2 & \; 3 \end{array} \right]$

(a): Beskriv hur egenvärdena till A ändras då p varierar från 1 till 2!
(b): Använd kommandot poly för att bestämma det karakteristiska polynomet för A. Repetera MATLAB-handledningens avsnitt 4.4 och rita sedan grafen av det karaktersistiska polynomet för olika p-värden mellan 1 och 2. Tänk efter hur grafen avspeglar hur egenvärdena ändras då p varierar.
(c): Finns det några värde på p för vilka A har egenvärdet 0?

3.

Sätt ${\mathbf v}_j = (1,2^{j-1},3^{j-1},4^{j-1},5^{j-1})$ för j=1,2,3,4,5. Visa med hjälp av datorn att $\{ {\mathbf v}_1, \ldots , {\mathbf v}_5 \}$ är en bas i ${\Bbb R}^5$ . Vilka koordinater har vektorn (1,-1,1,-1,1) i denna bas?

4.

Antag att man har givet en mätserie av data $(x_{j},y_{j}) , j=1, \cdots , n+1$ . Man vill finna en funktion p vars graf passerar genom punkterna (x_j,y_j) d.v.s.

$\begin{displaymath} p(x_{j}) = y_{j} , \; \; j=1,2, \cdots , n+1 \end{displaymath}$ (1)

Det är då naturligt att pröva med ett polynom. Väljer man ett polynom av graden n kommer ekvationen (1) att bestämma dess koefficienter entydig. Detta polynom kallas då interpolationspolynomet för givna data.
Med hjälp av MATLAB-kommandot polyfit kan man behändigt beräkna detta interpolationspolynom. Således ger kommandot p=polyfit(x,y,n) koefficienterna p i interpolationspolynomet, som sedan kan beräknas i en godtycklig vektor t med kommandot s=polyval(p,t). Låt nu indata vara

$\begin{displaymath} x=(0,1,2,3,4,5),\; \; y=\sin{(2x)}, \; \; n=5\end{displaymath}$

Beräkna interpolationspolynomet i tätt liggande punkter på intervallet [0,6], rita interpolationspolynomet och kurvan $(t,\sin{(2t)})$ i samma figur. Beundra den goda anslutningen mellan de båda kurvorna på intervallet [0,5] och förskräcks över den dåliga anslutningen på intervallet [5,6].
(När du längre fram läser om minsta kvadratmetoden, kan du gärna återbesöka kommandot polyfit och studera vad det utför.)

Redovisningen sker på en särskild svarsblankett.