Ordet har sin ursprung i ett felaktigt uttal av namnet på en framstående arabisk matematiker omkring 850, som beskrev räknescheman för att lösa vissa algebraiska ekvationer. Från samme författare kommer ordet "algebra" - ungefär bokstavsräkning.
Här är produkten på höger sida skalärprodukten (inner product) mellan vektorerna och är längden av .
Ordet "augmented" betyder ungefär "utvidgad", men på svenska brukar man tala om resultatet av utvidgningen, nämligen totalmatrisen. Om
är ett linjärt ekvationssystem kallas systemets koefficientmatris och matrisen
kallas systemets totalmatris.
Bakåtfasen syftar till att ge en fullständig beskrivning av ett linjärt ekvationssystems alla lösningar.
Här är talen entydigt bestämda-de kallas koordinaterna för .
Här är koordinaterna för i basen . Men eftersom också är en bas kan vi även skriva och
där då är koordinaterna för i basen . Man kan beskriva situationen genom att säga att man har bytt bas. Först beskrev man i -basen och bytte sedan till den andra basen. Samtidigt måste man då byta koordinater-från -koordinaterna till -koordinaterna. Det finns en matris beskriver hur koordinatbytet går till med hjälp av formeln .
Två vektorer och är parallella om den ena är en multipel av den andra, alltså
Detta är detsamma som att mängden är linjärt beroende.
eller eller
eller som kolonnvektorer
Eftersom en linjärkombination av kolonnerna i kan skrivas , så består kolonnrummet till av alla vektorer i som kan skrivas .
Alltså: kolonnrummet till är alla för vilka ekvationssystemet är lösbart.
Pivotkolonnerna i utgör en bas för kolonnrummet till A.
Mängden M består alltså av alla som uppfyller ekvationen ovan.
Dimensionen av kolonnrummet till en -matris är antalet pivotkolonner i . Detta tal kallas även rangen av . Man skriver:
Dimensionen av nollrummet till en -matris är antalet fria variabler. Man har sambandet (rangsatsen)
har en icke-trivial lösning. Varje icke-trivial lösning kallas en egenvektor till egenvärdet . En egenvektor har alltså egenskapen att är parallell med .
Man kan finna alla egenvärdena till en -matris med hjälp av den karakteristiska ekvationen
Detta är en n-tegradsekvation. Det finns alltså (lika eller olika, komplexa eller reella) egenvärden till en -matris.
Egenrummet till egenvärdet är nollrummet för matrisen
Ordet ekvivalent används i många olika sammanhang. Exempelvis sägs två ekvationer vara ekvivalenta om de har samma lösningsmängd. Exempelvis är ekvationerna
och
ekvivalenta.
Två påståenden är ekvivalenta om de är sanna
samtidigt och falska samtidigt.
Man kan använda olika bestämningar för att precisera i vilka avseenden som man har ekvivalens. Exempelvis är två matriser radekvivalenta om den ena matrisen kan överföras i den andra med hjälp av ett ändligt antal elementära radoperationer.
Med hjälp av enbart framåtfasen kan man får information om ett linjärt ekvationssystems allmänna egenskaper-lösbarhet, entydighet m.m.
Med hjälp av skalärprodukt definieras längd av vektor, vinklar mellan vektorer med mera. Längden av är
Vinkeln mellan och är den vinkel i intervallet som defineras av sambandet
(om ingen av vektorerna är nollvektorn).
Minsta kvadratmetoden är en vida använd metod att utjämna mätfel!
där minst en av vikterna ,..., inte är noll. Det motsatta begreppet-linjärt oberoende-innebär att vektorekvationen
bara har den självklara (triviala) lösningen
Här får koefficienterna (vikterna) variera fritt över alla tal. Det linjära höljet betecknas
Här markerar element som eventuellt inte är noll.
Nollrummet är ett underrum av och betecknas .
Man finner en bas för nollrummet genom att lösa systemet och skriva lösningarna på vektorform där de fria variablerna uppträder som koefficienter framför vissa vektorer. Dessa utgör då en bas för nollrummet.
Nollrummets dimension är antalet fria variabler.
Den så kallade rangsatsen säger att summan av matrisens rang och dimensionen av dess nollrum är lika med antalet kolonner i matrisen.
Detta uttrycker bara det näst intill självklara faktum att antalet pivotkolonner plus antalet fria variabler är lika med antalet kolonner i matrisen.
Se vidare ordet ``dimension''.
En vektor satisfierar matrisekvationen om .
En mängd kan också beskrivas genom att man anger villkor som elementen måste uppfylla. Alla lösningar till ett linjärt ekvationssystem utgör en mängd. Denna mängd kan skrivas
Kolonet betyder ``så att''-mängden av alla så att .Om man vill specifiecera att ligger i kan man skriva
Alltså-mängden av alla i så att . Symbolen säger alltså att ligger i eller tillhör .Lösningsmängden till en ekvation eller ett ekvationssystem består av alla lösningar till ekvationen (systemet).
Här får koefficienterna (vikterna) variera fritt över alla tal. Det linjära höljet betecknas
delmatrisen (blocket) och hela matrisen kan uppfattas som uppdelad i fyra block
Matrisen -överföringsmatrisen - beskriver då den procentuella omflyttningen mellan stad, förorter och landbygd. Efter år kommer befolknongsfördelningen att ges av vektorn .
Överföringsmatriser förekommer också i tidkontinuerliga modeller, alltså system av differentialekvationer.
Anledningen till att man använder olika ord som ersättning för ordet funktion är att man vill ge olika associationer. Ofta använder man ordet transformation när värdemängden är en del av definitionsmängden och man tänker på transformationen som en förändring av definitionsmängden. Ett bra exempel är rotation kring origo av alla punkter i planet.
Om inte är nollvektorn kommer
att vara en enhetsvektor som är parallell med .En ekvation har en entydig lösning om det finns en enda lösning. För linjära ekvationssystem gäller att systemet antingen inte är lösbart - det finns ingen lösning alls- eller har en entydig lösning eller har oändligt många lösningar. Ett linjärt ekvationssystem kan exempelvis inte har precis två lösningar, vilket däremot en polynomekvation kan ha.
Här markerar element som eventuellt inte är noll.
Det måste också finnas ett noll-element så att . Vidare skall det för varje element i mängden finnas ett element så att . Det brukar bli åtta grundläggande räknelagar.