Demonstrationsövningar, del 2

1.
Betrakta först en kub med sidan 1 i rummet-låt oss säga att vi tar kuben som bestäms av standardbasens tre enhetsvektorer. Beräkna längden av diagonalen i kuben. Generalisera sedan detta till $n$ dimensioner. Hur lång är alltså diagonalen i en kub med sidan 1 i ${\mathrm R}^n$?

2.
Den linjära avbildningen $T:{\mathrm R}^4 \rightarrow {\mathrm R}^4 $ har egenskapen att

\begin{displaymath} T({\mathbf e}_1)=(2,1,-1,-1), T({\mathbf e}_2)=(-1,0,1,1), T({\mathbf e}_3)=(-2,-1,1,-1),T({\mathbf e}_4)=(1,0,1,3)\end{displaymath}

där $\{ {\mathbf e}_1, {\mathbf e}_2, {\mathbf e}_3, {\mathbf e}_4 \}$är standardbasen i ${\mathrm R}^4$. Visa att $(1,0,1,1),(1,0,1,2)$ är egenvektorer till $T$. Bestäm också en bas i ${\mathrm R}^4$ i vilken matrisen för $T$ är en diagonalmatris.

3.
Sätt

\begin{displaymath} {\mathbf u}_{1}=(1,0,-1,0,1,0), \ \ {\mathbf u}_{2}=(1,-1,1,-1,1,-1), \ \ {\mathbf u}_{3}=(0,1,-1,0,1,-1) \end{displaymath}

Visa att mängden $\{{\mathbf u}_{1},{\mathbf u}_{2},{\mathbf u}_{3}\}$ är linjärt oberoende. Utvidga denna mängd till en bas ${\mathcal B}$ i ${\mathrm R}^6$. Vilka koordinater har standardbasens vektorer i basen ${\mathcal B}$?

4.
Låt $H$ vara det linjära underrum av ${\mathrm R}^5$ som består av alla lösningar till ekvationssystemet

\begin{displaymath} \left\{\begin{array} {rrrrrr} x_{1}&-x_{2}&+x_{3}&-x_{4}&+x... ... x_{1}&-3x_{2}&+2x_{3}&+3x_{4}&+2x_{5}&=0 \end{array}\right. \end{displaymath}

Bestäm spegelbilden i $H$ av vektorn ${\mathbf x}=(0,1,2,3,4)$.

5.
Låt $p_{0}$ vara ett godtyckligt andragradspolynom och definera $p_{1},p_{2},p_{3}, \ldots $ genom att sätta

$ \displaystyle{p_{n+1}(x)= \frac{1}{x}\int_{0}^x p_{n}(t) dt + p_{n}^\prime(x) }$

där $\ \ n=0,1,2, ...$ . Beräkna $\lim_{n \rightarrow \infty} p_{n}(x)$.

6.
I Lisas och Olles leksakslåda finns massor av klossar. De är röda, gröna, gula och blå. Det finns kubiska klossar med fem centimeters sida och det finns avlånga klossar som består av två sammanfogade klossar i samma färg. På hur många sätt kan Lisa och Olle tillsammans lägga sina klossar i en två meter lång rad?