$\parbox{5cm}{Differentialgeometri\\ V 00 \\ ~~~~\\ ~~~~}$

Inlämningsuppgift 3

Vilken eller vilka av följande delmängder S till $\mathbb R^{3}$ är reguljära ytor? Ange en grafparametrisering kring punkten p när S är en reguljär yta.

1.

S ges av alla punkter (x,y,z) som löser ekvationen x²y²+y²z²+x²z²+xyz=0. Punkten p är (-1/3,-1/3,-1/3).

2.

S ges av alla punkter (x,y,z) som löser ekvationen x²y²+y²z²+x²z²+xyz=1. Punkten p är (0,1,1).

3.

S består av alla punkter (x,y,z) som löser ekvationssystemet

$$\left\{ \begin{array} {rcl} z&=&x^{2}+y^{2}\\ z&\leq &1. \end{array}\right.$$

Punkten p är $(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},1)$.

4.

S är mängden av punkter (x,y,z) sådana att z³=x²+y² och p är (2,2,2).

5.

S består av alla punkter

$$(\mbox{e}^{bv}\cos(v)+\mbox{e}^{av}\cos(u)\cos(v),\mbox{e}^{bv}\sin(v)+\mbox{e}^{av}\cos(u)\sin(v),\mbox{e}^{av}\sin(u)),$$

där $v \gt 0,\,u\in\mathbb R$ och $0<a,\,\mbox{e}^{2\pi a}+2<\mbox{e}^{2\pi b}$. (Observera att snittet mellan S och planet Ax+By=0 består av disjunkta cirklar med medelpunkt längs linjen genom origo i planet som är vinkelrät mot z-axeln.)

För 4 poäng krävs fullgod lösning av fyra av deluppgifterna.

Lösningarna ska lämnas senast fredagen den 11 februari.