$\parbox{5cm}{Differentialgeometri\\ V 00 \\ ~~~~\\ ~~~~}$

Inlämningsuppgift 4

1.

Helikoiden är mängden av punkter $(av\cos(u),bv\sin(u),cu),$ där $u,\,v\in\mathbb R$ (och $a,\,b,\,c\,\gt$). Visa att helikoiden är inversa bilden av ett reguljärt värde till en glatt funktion, så att den är en reguljär yta.

2.

Låt S₁ vara den reguljära ytan $S^{2}\setminus\{e_{3}\},$ där S² är enhetssfären och S₂ helikoiden. Visa att funktionen

$$f(x,y,z)=(\frac{ay}{1-z}\cos(\frac{x}{1-z}),\frac{by}{1-z}\sin(\frac{x}{1-z}).\frac{cx}{1-z})$$

definierar en glatt funktion $f:S_{1}\rightarrow S_{2}$.

3.

Visa att en bas för tangentrummet T_(x,y,z)(S₁) ges av

$$\begin{array} {rcl} v_{1}(x,y,z)&=&(1-z-x^{2},-xy,(1-z)x)\\ v_{2}(x,y,z)&=&(-xy,1-z-y^{2},(1-z)y)\end{array}$$

medan

$$\begin{array} {rcl} w_{1}(x,y,z)&=&(-ya/b,xb/a,c)\\ w_{2}(x,y,z)&=&(a\cos(z/c),b\sin(z/c),0)\end{array}$$

ger en bas för T_(x,y,z)S₂.

4.

Vad är Jakobis matris för $df{p}:T_{p}(S_{1})\rightarrow T_{f(p)}(S_{2}),$ om man använder baserna ovan och p=(0,1,0)?

5.

Är f en diffeomorfi?

För 4 poäng krävs fullgod lösning av fyra av deluppgifterna.

Lösningarna ska lämnas senast fredagen den 18 februari.