Vi skriver vektorerna i basen : och .
Avbildningen -dpN är linjär så och . Sätter vi in detta i ser vi att det räcker att visa att
Men och och är vinkelrät mot såväl och så . Derivering med avseende på u av detta ger nu och med avseende på v Eftersom ser vi att .
I denna bas representeras -dpN av matrisen
Den andra fundamentalformen är där a och b är koefficienterna för v i basen . Om vi väljer v till att ha längd 1, är detta normalkrökningen av S i p i riktningen v.Vi väljer nu a och b så att v har längd 1, dvs så att a2+b2=1 (använder att basen är en ON-bas). De riktningar som är vinkelräta mot (a,b) är . Normalkrökningen i dessa två riktningar är b2k1+a2k2. Summan av normalkörkningarna blir alltså
Sätter vi så ger derivering av att .
Kurvans binormal definieras som . Binormalen har längd 1 eftersom t och n är vinkelräta och har längd 1.Detta ger att är en ON-bas för och att matrisen har determinant 1. Derivering ger
Men n är vinkelrät mot n', eftersom . Eftersom n också är vinkelrät mot t är en multipel av n. Detta defineirar torsionen som och vi ser att .Vi skriver Frenets ekvationer på matrisform:
Observera att .Antag nu att är en annan bådglängdsparametriserad kurva med samma krökning och torsion som och låt B vara 's motsvarighet till A. Genom att rotera rummet och kurvan med en rotation R kan vi förutsätta att B(0)=A(0). (Vi förutsätter att ligger i definitionsmängden för .)
Vi har då två lösningar A och B till ekvationen Vi ser att C=A-B löser ekvationen och att C(0)=0. Derivering av CCt ger så CCt är konstant och lika med C(0)Ct(0)=0. Detta ger att långderna av raderna i C är noll, så . Alltså är A=B och och har speciellt samma tangent. Därmed är konstant. Genom att translatera rummet (och ) kan vi förutsätta att och nu är .
Genom en rotation och en translation kan alltså överföras till .
Genom att subrahera lämplig multipel av första och andra raderna från den tredej i matrisen ser vi att
vilket ger Antag nu att inte är parametriserad med båglängd. Det finns då en strängt växande funktion så att är parametriserad med båglängd. Vi har så .Vi får också och .
Detta ger
så Vi får också genom att dra ifrån lämpliga multipler av rader från andra att eller0=2u'v'(v2-1)+(v')22uv=v'(2u'(v2-1)+2uvv')
som ger oss de två ekvationerna v'=0 med lösning v=konstant, respektive 2u'/u=-2vv'/(v2-1). Integration ger där C är en godtycklig konstant. Efter exponentirering ger detta v2-1=D/u2, där D är en godtycklig konstant, eller
I en navelpunkt är K=H2 och vi ser att detta inträffar bara när u=v=0.
Ytans paraboliska punkter är alltså där och . De plana punkterna är som också är en navelpunkt.
Ytans normal är så
Vi har
Den geodetiska krökningen ges av så
Svaret ges av matrisen ovan med .
Vi har att w1=(x,-y,0) och w2=(0,y,-z) är en bas för tangentrummet i . Vi ser att och . Detta ger och . Skalärprodukt med ger nu -z/(xy)-z/(xy)-y/(zx)=-2z2-y2 respektive -y/(zx)-x/(zy)-x/(yz)=-y2-2x2. Vi har också har skalärprodukt . Detta ge nu
Eftersom p ska ligga i normalplanet ska vi ha . Omvänt, om detta gäller är villkoret i uppgiften uppfyllt. Derivering ger
Eftersom är en bas ger detta ekvationssystemet Andra och tredje raderna ger och därmed där konstanten C ska väljas så att B blir definierad i närheten av s0. Den andra ekvationen ger nu . Insättning ger att dessa värden på A, B och löser ekvationssystemet för givet k.Antag nu att är given liksom . Definiera A, B och som ovan för ett val av C, så att samtliga är definierade i närheten av s0. Låt vara en båglängsparametriserad kurva med krökning k och torsion .
Ekvationssystemet ovan visar nu att har derivata vilket ger att där q är konstant. Ersätter vi med kurvan får vi en kurva med samma tangentvektor, normal, binormal, krökning och torsion, så att . Detta visar att det givet k och s0 finns en kurva definerad i närheten av s0 som uppfyller villkoret i uppgiften.