En glatt kurva i kan då skrivas för en glatt kurva i U med . Kedjeregeln ger att . Detta visar att tangentvektorer till S i p är linjärkombinationer av vektorerna och .
Om vi väljer ser vi att så att alla linjärkombinationer är tangentvektorer, så Tp(S) är ett linjärt delrum till . Eftersom och är linjärt oberoende har tangentrummet dimension 2.
En normal till tangentrummet i p ges av (1,0,0), så är en bas för tangentrummet.
Vi har att Jacobis matris för dF ges av ()
Vi har att . Speciellt har vi så i basen representeras dfp av multiplikation med som har determinant 2.
Av detta drar vi slutsaten att är den kontinuerliga funktionen . Av samma skäl är för någon skalärvärd funktion .
Om finns det (på grund av kontinuitet) ett så att när . Av detta drar vi slutsatsen att för dessa värden på t och speciellt är N'(t0)=0, vilket strider mot att . Allstå är och N' och linjär beroende, dvs är en egenvektor till -dN.
Detta visar att C är en krökningslinje.
Detta är i sin tur ekvivalent med att . Derivering ger och , så villkoret är ekvivalent med att x t+y b är konstant, för några konstanter x och y.
Derivering av detta ger
Villkoret är alltså ekvivalent med att Vi ser att y=0 ger x=0 och vilket strider mot förutsättningarn. Existensen av konstanterna x och y är alltså ekvivalent med att är konstant.