$\parbox{5cm}{Differentialgeomteri\\ V 00 \\ ~~~~\\ ~~~~}$

Förslag till lösning av inlämningsuppgift 1

1.

Punkterna på cylindern är de som kan skrivas $(a+a\cos(s),a\sin(s),z)$. Insättning av detta i sfärens ekvation ger

$$z^{2}=4a^{2}-2a^{2}-2a^{2}\cos(s)=2a^{2}2\sin^{2}(s/2)$$

där vi använt att $\cos(s)=\cos^{2}(s/2)-\sin^{2}(s/2)=1-2\sin^{2}(s/2)$.Detta ger att $z=\pm\sin(t/2)$. Om vi sätter $z=\sin(s/2)$ och låter s löpa genom $[0,\,4\pi]$ kommer båda möjliga alternativen för z att förekomma.

2.

Det gäller att visa att $\alpha'(s)\not=0$ för varje s. Derivering ger

$$\alpha'(s)=(-a\sin(s),\,a\cos(s),\,a\cos(s/2))$$

vars längd i kvadrat är $a^{2}+a^{2}\cos^{2}(s/2)\gt a^{2}\gt,$ så kurvan är reguljär.

3.

För att beräkna krökning och torsion för en kurva som inte nödvändigtvis är parametriserad med båglängd använder vi följande formler som härlets på föreläsningarna:

$$k=\frac{\vert\alpha'\times\alpha''\vert}{\vert\alpha'\vert^{... ...,\alpha'',\,\alpha''')}{\vert\alpha'\times \alpha''\vert^{2}}.$$

Vi ser att vi behöver bland annat $\alpha''$ och $\alpha'''$:

$$\begin{array} {rcl} \alpha''(s)&=&(-a\cos(s),\,-a\sin(s),\,-... ...\alpha'',\,\alpha'+\alpha'')=(3a/4)\cos(s/2)a^{2}\\ \end{array}$$

Detta ger oss nu

$$k(s)=\frac{(a^{2}/2^{3/2})\sqrt{13+3\cos(s)}}{(a^{3}/2^{3/2}(3+\cos(s))^{3/2}}= \frac{\sqrt{13+3\cos(s)}}{a(3+\cos(s))^{3/2}}$$

och

$$\tau(s)=-\frac{(3a^{3}/4)cos(s/2)}{(a^{4}/8)(13+3\cos(s))}= -\frac{6\cos(s/2)}{a(13+3\cos(s))}.$$

4.

När en kurva $\beta$ är parametriserad med båglängd är det relativt enkelt att utifrån kurvans parametrisering bestämma Frenets treben. Vi har att

$$\beta'$$ t =

$$\beta''=\beta'/\vert\beta''\vert \vert\beta''\vert\not=0$$ n =

$$t\times n$$ b =

Antag nu att $\alpha$ är godtycklig. Vi kan då finna en reellvärd funktion $\phi(s)$ så att $\phi'\gt$ och $\beta(s)=\alpha(\phi(s))$ är parametriserad med båglängd. (Man låter $\phi$ vara omvändningen till $\int\,\vert\alpha'(s)\vert\,ds$.) Speciellt är längden av $\beta'=\phi'\alpha(\phi)$ lika med 1, så $\phi=1/\vert\alpha'(\phi)\vert$. Vi får nu

$$\begin{array} {rcl} t&=&\beta'=\phi'\alpha'(\phi)\\ n&=&(1... ...a'(\phi)+(\phi')^{2}\alpha''(\phi))\\ b&=&t\times n\end{array}$$

Av detta ser vi att t är normeringen av $\alpha'$ och att n ligger i planet som spänns av $\alpha'$ och $\alpha''$. Eftersom skalären framför $\alpha''$ är positiv pekar n åt samma sida som $\alpha''$ relativt $\alpha'$. Detta betyder att t och n kan fås genom att man underkastar $\alpha'$ och $\alpha''$ Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess.

Alternativt kan vi härleda en formel (som ger samma svar förstås). Vi har $(\phi')^{2}=1/(\alpha'(\phi)\cdot\alpha'(\phi))$ och derivering ger $2\phi'\phi''=-2\phi'\alpha''(\phi)\cdot \alpha'(\phi)/\vert\alpha'\vert^{4}$ eller $\phi''=\alpha''(\phi)\cdot \alpha'(\phi)/\vert\alpha'\vert^{4}$. Insättning av detta tillsammans med formeln för krökningen ger nu att tangentvektorn och normalvektorn i punkten $\alpha(s)=\beta(\phi(\phi^{-1}(s)))$ på kurvan ges av

$$\begin{array} {rcl} t&=&(1/\vert\alpha'\vert)\alpha'\\ n&=... ...ha''/\vert\alpha'\vert^{2})\alpha')\\ b&=&t\times n\end{array}$$

När $s=\pi/2$ har vi

$$\begin{array} {rcl} \alpha'&=&(-a,0,a/\sqrt{2})\\ \alpha''... ...1,6,-\sqrt{2})\\ b&=&=\sqrt{1/13}(-2,-1,-2\sqrt{2})\end{array}$$

5.

Krökningscentrum ges av punkten $\alpha+(1/k)n,$ som när $s=\pi/2$ blir ($k=\sqrt{13}/(3a)$)

$$(a,\,a,\,a\sqrt{2})+(\sqrt{3}/13)(-1,6,-\sqrt{2})=(a/13)(13-\sqrt{3},13+6\sqrt{3},\sqrt{2}(13-\sqrt{3}))$$