$\parbox{5cm}{Differentialgeometri\\ V 00 \\ ~~~~\\ ~~~~}$

Förslag till lösning av inlämningsuppgift 3

1.

Vi ser att de planen x=0, y=0 och z=0 alla är en del av S. Alltså finns det inte någon projektion på två koordinataxlar vars restriktion till S är injektiv kring (0,0,0). Detta visar att S saknar grafparametrisering kring (0,0,0) och att S därför inte är en reguljär yta.

2.

Om vi sätter f(x,y,z)=x²y²+x²z²+y²z²+xyz-1 är S=f^-1(0).

De kritiska punkterna till f är de där $\mbox{grad}(f)=0$. De är alltså lösningarna till ekvationssystemet 0=f'_x=f'_y=f'_z. För att visa att är ett reguljärt värde ska vi visa att f inte antar värdet i någon av dessa punkter. Vi ska med andra ord visa att ekvationssystemet

$$0=f(x,y,z),\,0=2x(y^{2}+z^{2})+yz,\,0=2y(x^{2}+z^{2})+xz,\,0=2z(x^{2}+y^{2})+xy$$

saknar lösning.

Multiplicerar vi den andra med -y och den tredje med x och adderar resultaten får vi (x²-y²)z=0, så x²=y² eller z=0. Om z=0 ger den sista ekvationen att x=0 eller y=0. Inget av dessa alternativ löser f(x,y,z)=0.

Symmetrin i ekvationerna ger att vi kan anta att ingen av koordinaterna är =0, och att x²=y²=z².

Om x=y=z eller x=-y=-z ger den andra ekvationen att x=y=z=-1/4 vilket inte stämmer i den första.

Om x=y=-z eller x=-y=z ger andra ekvationen x=1/4 vilket inte stämmer i den första.

Därmed är ett reguljärt värde till f och S=f^-1(0) en reguljär yta.

Vi försöker bestämma z som en funktion av x och y, när $x,\,y$och z ligger nära 1/3. Lösning av 0=z²(x²+y²)+xyz-1 ger oss

$$z=-\frac{xy\pm\sqrt{x^{2}y^{2}+4x^{2}+4y^{2}}}{2(x^{2}+y^{2})}=g(x,y).$$

Vi ser att vi ska välja minustecknet för att ha z=1, när x=0 och y=1. Vi ser också att uttrycket är en glatt funktion när $(x,y)\in B_{\epsilon}((0,1)),$ där $\epsilon$ är tillräckligt litet. Därmed är $\mathbf x(u,v)=(u,v,g(u,v)),$ där$(x,y)\in B_{\epsilon}((0,1)),$ en grafparametrisering kring p.

3.

Tag punkten $(1,0,1)\in S$. Projektion på vilket som helst av koordinatplanen avbildar en öppen mängd kring (1,0,1) i S på icke-öppna mängder i koordinatplanen. Alltså saknas grafparametrisering kring p och S är ingen reguljär yta.

4.

Om $(x,y,z)\in S,$ ser vi att $(-x,y,z)\in S$ och $(x,-y,z)\in S$. De har samma projektion som (x,y,z) på y,z-planet respektive x,z-planet. Därför är ingen av dessa projektioner restringerade till en öppen mängd i S runt $(0,0,0)\in S$ injektiv.

Enda möjligheten till grafparametriseting kring (0,0,0) är därför att framställa ytan som grafen till z=(x²+y²)^1/3. Men denna funktion är inte glatt i (0,0). Alltså saknas grafparametrisering av (0,0,0) i S.

5.

Problemet i uppgiften är att det är svårt att se S som inversa bilden av någon glatt funktion, men att vi ändå misstänker att S är en reguljär yta. Vi ska därför försöka använda definitionen av reguljär yta som en delmängd till $\mathbb R^{3}$ som har en lokal parametrisering kring varje punkt.

Låt oss först klara av att

$$\mathbf x(u,v)=((\mbox{e}^{vb}+\mbox{e}^{va}\cos(u))\cos(v),(\mbox{e}^{vb}+\mbox{e}^{va}\cos(u))\sin(v),\mbox{e}^{va}\sin(u))$$

ger en injektiv funktion från den mängden i $\mathbb R^{2},$ där v>0 och $u\in[0,2\pi[$.

Vi konstaterar att $\mbox{e}^{vb}+\mbox{e}^{va}\cos(u)\geq \mbox{e}^{vb}-\mbox{e}^{va}\gt,$ för förutsättningen $\mbox{e}^{2\pi a}+2<\mbox{e}^{2\pi b}$ ger att b>a.

Låt P vara planet som innehåller z-axeln och har $(A,B)=(-\sin(\theta),\cos(\theta),0)$ som normal. Snittet med S ges då av punkter $\mathbf x(u,v)$ sådana att $-\cos(v)\sin(\theta)+\sin(v)\cos(\theta)=0$ dvs $(cos(v),\sin(v))$ska vara parallell med $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ eller $v=\theta+k\pi,$ där $k\in \mathbb Z$. Om vi använder (B,-A) och e₃ som bas i planet P kan snittet mellan P och S beskrivas punkterna

$$((-1)^{k}\mbox{e}^{bv},0)+\mbox{e}^{va}(\cos(u),\sin(u)),$$

där $u\in\mathbb R,$ och $v=\theta+k\pi$ ($k\in\mathbf Z),$ dvs som en rad cirklar i planet med medelpunkt i $(\mbox{e}^{bv},0)$ och radie $\mbox{e}^{va}$. Eftersom $\mbox{e}^{vb}-\mbox{e}^{va}$ ligger cirklarna på endera sidorna om z-axeln i planet.

Avståndet mellan ''två på varandra följande'' medelpunkter på samma sida z-axeln är $\mbox{e}^{vb}\mbox{e}^{2\pi b} -\mbox{e}^{vb}$ som enligt förutsättningarna är större än $\mbox{e}^{va}\mbox{e}^{2\pi a}+\mbox{e}^{va},$ dvs summan av två på varandra följande radier. Alltså är cirklarna disjunkta.

Detta visar att olika värden på v ger olika punkter. Från tredjekoordinaten ser vi att punkter med samma v-koordinat men olika u-koordinater ($u\in[0,2\pi[$) ger olika punkter på S. Därmed är $\mathbf x$ injektiv.

Låt k vara ett heltal och sätt

$$\mathbf x_{1,k}:U_{1,k}\rightarrow S,\,\mathbf x_{1,k}(u,v)=\mathbf x(u,v),$$

där U_1,k är den öppna mängden i $\mathbb R^{2}$ bestående av alla (u,v) där $-\pi/2<u<\pi/2$ och $-\pi/2 +k\pi<v<\pi/2+k\pi$.

Definera på samma sätt $\mathbf x_{2,k}$, $\mathbf x_{3,k}$ och $\mathbf x_{4,k}$ som restriktionerna av $\mathbf x$ till de öppna mängderna U_2,k, U_3,k och U_4,k, där $-\pi/2<u<\pi/2,\,k\pi<v<\pi+k\pi,$ $0<u<\pi,\,-\pi/2 +k\pi<v<\pi/2+k\pi,$ respektive $0<u<\pi,\,k\pi<v<\pi+k\pi$.

Vi visar att dessa funktioner, vars bilder täcker hela S, ger lokala parametriseringar av S. Vi genomför argumentet bara i fallet $\mathbf x_{1,k},$ då de andra fallen är likartade.

Vi försöker bestämma inversen till $\mathbf x_{1,k}(U_{1,k})$.

Om $(x,y,z)\in \mathbf x_{1,k}(U_{1,k})$ ska vi ha

$$\begin{array} {rcl} v&=&\arctan(y/x)+k\pi \mbox{ och }\\ u&=&\arcsin(\mbox{e}^{-av}z)\end{array}$$

Vi sätter $f(x,y,z)=\arctan(y/x)+k\pi$ samt $g(x,y,z)=\arcsin(\mbox{e}^{-f(x,y,z)}z)$ och har då $\mathbf x^{-1}_{1,k}(x,y,z)=(f(x,y,z),g(x,y,z))$. Vi konstaterar nu att om vi sätter F(x,y,z)=(f(x,y,z),g(x,y,z)), så är denna funktion definierad där $x\not=0$ och |z|<f(x,y,z). Detta är en öppen mängd O till $\mathbb R^{3}$. (h(x,y,z)=f(x,y,z)-|z| är kontinuerlig där $x\not=0$ så $h^{-1}(]0,\infty[)$ är öppen.)

Inspektion av f och g ger att F är glatt. Speciellt är $\mathbf x_{1,k}^{-1}$ kontinuerlig, för den är restriktion av den kontinuerliga funktionen F. Alltså är $\mathbf x_{1,k}:U_{1,k}\rightarrow \mathbf x_{1,k}(U_{1,k})$ en homeomorfi.

Eftersom $F\circ \mathbf x=\mathbf x_{1,k}^{-1}\circ \mathbf x_{1,k}$ är identitetsfunktionen, ger kedjeregeln att $dF_{p}\circ d(\mathbf x_{1,k})_{q},$ där $p=\mathbf x_{1,k}(q),$ är identitetsfunktionen. Alltså är $d(\mathbf x_{1,k})_{q}$ injektiv för varje $q\in U_{1,k}$.

Det återstår att visa att $\mathbf x_{1,k}(U_{1,k})$ är snittet mellan en öppen mängd i $\mathbb R^{3}$ och S.

Om vi nu sätter

$$h_{1}(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\mbox{e}^{bf(x,y,z)}$$

och

$$h_{2}(x,y,z)=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\mbox{e}^{b(f(x,y,z)+2\pi)}+\mbox{e}^{a(f(x,y,z)+2\pi}$$

får vi kontinuerliga rellvärda funktioner definierade på den öppna mängden i $\mathbb R^{3},$ där $x\not=0$. Därför är $V_{i}=h_{i}^{-1}(]0,\infty[),$ $i=1,\,2$ öppna i denna mängd och därmed öppna i $\mathbb R^{3}$. Den öppna mängden $V=V_{1}\cap V_{2}$består alltså av de punkter (x,y,z), där $\mbox{e}^{bf(x,y,z)}<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\mbox{e}^{b(f(x,y,z)+2\pi)-\mbox{e}^{a(f(x,y,z)+2\pi)}}$.Argumentet med cirklar som visar att $\mathbf x$ är injektiv ger nu att $V\cap S=\mathbf x_{1,k}(U_{1,k})$.