$\parbox{5cm}{Differentialgeometri\\ V 00 \\ ~~~~\\ ~~~~}$

Förslag till lösning av inlämningsuppgift 4

1.

Om vi sätter $h(x,y,z)=(x/a)\sin(z/c)-(y/b)\cos(z/c),$ så är h(p)=0, när p ligger på helikoiden. Om å andra sidan h(x,y,z)=0, så är (x/a,y/b) vinlekrät mot
$(\sin(z/c),-\cos(z/c)),$ dvs parallell med $(\cos(z/c),\sin(z/c))$.Sätter vi u=z/c betyder detta att $(x/a,y/b)=v(\cos(u),\sin(u)),$för något $v\in \mathbb R$. Detta ger nu att $(x,y,z)=(av\cos(u),bv\sin(u),cu),$ så att punkten ligger på helikoiden. Därmed är helikoiden precis h^-1(0).

De kritiska punkterna till h är de där $dh=\mbox{grad}(h)=0,$ vilket ger ekvationssystemet 0=h'_x=h'_y=h'_z eller $0=(1/a)\sin(z/c)=(1/b)\cos(z/c)=h'_{z}$. De två första ekvationerna saknar samtidig lösning z, så h saknar kritiska punkter.

Alltså är ett reguljärt värde till h och helikoiden h^-1(0) en reguljär yta.

2.

Funktionen f definierar en glatt avbildning $U\rightarrow \mathbb R^{n},$ där U är den öppna delmängd till $\mathbb R^{3},$ där $z\not=1$, eftersom koordinatfunktionerna har kontinuerliga partialderivator av godtycklig ordning i varje punkt i U.

Det räcker därför att visa att $f(S_{1})\subseteq S_{2}$. Men om vi i definitionen av helikoiden sätter v=y/(1-z) och u=x/(1-z) ser vi att $f(p)\in S_{2},$ för varje $p\in U$. Speciellt är $f(S_{1})\subseteq S_{2}$.

3.

Eftersom S² är g^-1(0), där g(x,y,z)=x²+y²+z¹-1 har som reguljärt värde, är en normal till tangentrummet i p=(x,y,z) parallell med gradienten till g som är (2x,2y,2z). Vi ser att p är en normal till tangentrummet T_p(S₁)=T_p(S²).

För att visa att v₁(p) och v₂(p) ligger i tangentrummet räcker det att visa att de är vinkelräta mot p=(x,y,z). Vi får

$$\begin{array} {rcl} p\cdot v_{1}(p)&=&x(1-x^{2}-y^{2}-z^{2}... ...(p)&=&y(1-x^{2}-y^{2}-z^{2})=\{\vert p\vert=1\}=0\\ \end{array}$$

För att visa att de är linjärt oberoende kan vi konstatera att

$$v_{1}(p)\times v_{2}(p)=-(1-z)^{2}(x,y,z)=-(1-z)^{2}p$$

inte är 0, när $p\in S_{1}$. Därmed bildar de en bas för det tvådimensionella tangentrummet T_p(S₁).

För att visa att w₁(p) och w₂(p) kan man göra på samma sätt genom att använda att $\mbox{grad}(h)$ (från 1)) är en normal till tangentrummet. Vi väljer i stället, för variationens skull, att konstatera att $\mathbf x(u,v)=(av\cos(u),bv\sin(u),cu),$$(u,v)\in U=\mathbb R^{2},$ är en parametrisering av helikoiden. Vi ser att $\mathbf x$ är glatt med $\mathbf x(U)=S_{2}$ öppen i S₂. Vidare är den injektiv, för $\mathbf x(u,v)$ bestämmer u entydigt i tredje koordinaten och sedan är $v=(av\cos(u))(\cos(u)/a)+(bv\sin(u))(\sin(u)/b)$.

Eftersom vi redan vet att S₂ är en reguljär yta räcker det att visa att $d\mathbf x_{q}$ är injektiv, eller ekvivalent $n=\mathbf x_{u}\times \mathbf x_{v}_{\vert q}\not=0,$ för varje $q\in U$. Vi får

$$\mathbf x_{u}\times \mathbf x_{v}=(-cb\sin(u),ca\cos(u),-abv)\not=0$$

Alltså är $\mathbf x$ en lokal parametrisering av S₂ och n är en normal till tangentrummet (som spänns av $\mathbf x_{u}$ och $\mathbf x_{v}$).

Om $p=\mathbf x(u,v)$ har vi

$$\begin{array} {rcl} w_{1}(p)&=&(-av\sin(u),-bv\cos(u),c)\\ w_{2}(p)&=&(a\cos(u),b\sin(u),0)\end{array}$$

som båda är vinkelräta mot n. För att visa att de utgör en bas räcker det nu att konstatera att

$$w_{1}(p)\times w_{2}(p)=(-cb\sin(u),ca\cos(u),-abv)\not=0.$$

4.

Eftersom $f:S_{1}\rightarrow S_{2}$ är restriktion av en glatt avbildning $f:U\rightarrow \mathbb R^{3},$ där $U=\mathbb R^{3}$ är den öppna mängden där $z\not=1,$ kan vi beräkna df_p(w), genom att använda Jakobis matris (i standardbasen) för df, där $f:U\rightarrow R^{3}$. Den är $(f_{x}\,f_{y}\,f_{z}),$ som om vi sätter $Z=1/(1-z),\,A=\sin(x/(1-z))$ och $B=\cos(x/(1-z))$ blir

$$\left( \begin{array} {rrr} -ayZ^{2}A&aZB&AyZ^{2}B-ayxZ^{3}... ...{2}B&bZA&byZ^{2}A-byxZ^{3}B\\ cZ&0&cxZ^{2} \end{array}\right)$$

När p=(0,1,0) är $Z=1,\,A=0$ och B=0, så

$$df_{p}=\left( \begin{array} {rrr} 0&a&c\\ b&0&0\\ c&0&0 \end{array}\right)$$

Vidare har vi v₁(p)=(1,0,0), v₂(p)=(0,0,1), f(p)=(a,b,0), w₁(f(p))=(-a,b,c) samt w₂(f(p))=(a,0,0).

Vi får df_p(v₁)=(0,b,c)=w₁+w₂ och df_p(v₂)=(a,0,0)=w₂.

Matrisen för df_p relativt de angiva baserna blir därför

$$\left( \begin{array} {rr} 1&0\\ 1&1\\ \end{array}\right)$$

5.

För att visa att f är en bijektion ska vi, för varje punkt $(\bar x,\bar y,\bar z)$ på helikoiden, visa att det finns en entydig punkt (x,y,z) på S₁, sådan att $f(x,y,z)=(\bar x,\bar y,\bar z)$.

Av denna ekvation får vi

$$\begin{array} {rcl} y/(1-z)&=&(\bar x/a)\cos(\bar z/c)+(\bar y)/b\sin(\bar z/c)\\ x/(1-z)&=&\bar z/c\end{array}$$

Eftersom vi söker lösa problemet så att x²+y²+z²=1 har vi

$$\frac{x^{2}}{(1-z)^{2}}+\frac{y^{2}}{(1-z)^{2}}=-1+\frac{2}{1-z}$$

Använder vi detta och utnyttjar att $(\bar x,\bar y,\bar z)$ ligger på helikoiden $((\bar x/a)\sin(\bar z/c)-(\bar y/b)\cos(\bar z/c)=0)$ får vi

$$-1+\frac{1}{1-z}=\big(\frac{\bar x}{a}\big)^{2}+\big(\frac{\bar y}{b}\big)^{2}+\big(\frac{\bar z}{c}\big)^{2}$$

Om vi sätter $A=(\bar x/a)^{2}+(\bar y/b)^{2}+(\bar z/c)^{2}$, får vi 1-z =2/(A+1). Inversen till f ges alltså av

$$f^{-1}(\bar x,\bar y,\bar z)=(2\bar z/(c(1+A)),(2/ab)(b\bar x\cos(\bar z/c)+a\bar y\sin(\bar z/c))/(1+A), 1-2/(A+1)).$$

Vi ser att detta uttryck definierar en glatt funktion från $\mathbb R^{3}$ till $\mathbb R^{3},$ eftersom koordinatfunktionerna har kontinuerliga partialderivator av godtycklig ordning. Där med är restriktionen av denna, $f^{-1}:S_{2}\rightarrow \mathbb R^{3},$glatt. Eftersom $f^{-1}(S_{2})\subseteq S_{1}$ har vi att f^-1 är glatt, och därmed är f en diffeomorfi.