$\parbox{5cm}{Differentialgeometri\\ V 00 \\ ~~~~\\ ~~~~}$

Förslag till lösning av inlämningsuppgift 5

1.

funktionen f(x,y,z)=x²+y²-1 är en glatt funktion från $\mathbb R^{3}$ till $\mathbb R$ med gradient (2x,2y,0). De kritiska punkterna till f är (0,0,z) och f antar inte värdet i någon av dessa. Alltså är cylindern f^-1(0) en reguljär orienterbar yta. En Gaussavbildning ges av $N(x,y,z)=\mbox{grad}(f)/\vert\mbox{grad}(f)\vert=(x,y,0)$ som pekar ``ut'' från ytan.

2.

För parametriseringen $\mathbf x(u,v)=(\cos(u),\sin(u),v)$har vi

$$\begin{array} {rcl} \mathbf x_{u}&=&(-\sin(u),\cos(u),0)\\ \... ...athbf x_{v}=0\\ G&=&\vert\mathbf x_{v}\vert^{2}=1\\ \end{array}$$

3.

Vi kan anta att $\alpha=\mathbf x \circ\beta,$ där $\beta(t)=(u(t),v(t))$ är en kurva i u,v-planet. Villkoret i uppgiften är att $\alpha(t)=dx_{\beta(t)}\beta'(t)=u'(t)\mathbf x_{u}(\beta(t))+v'(t)\mathbf x_{v}(\beta(t))=u'\mathbf x_{u}+v'\mathbf x_{v}$ ska ha vinkeln t med vektorn e₃=(0,0,1). Vi ska alltså ha

$$\frac{e_{3}\cdot (u'\mathbf x_{u}+v'\mathbf x_{v})}{\vert e_{3}\vert\vert u'\mathbf x_{u}+v'\mathbf x_{v}\vert} =\cos(t)$$

Eftersom $\alpha$ ska vara båglängdsparametriserad ska vi ha $1=\vert u'\mathbf x_{u}+v'\mathbf x_{v}\vert^{2}=(u')^{2}+(v')^{2}$. Insättning av detta och uttrycken för $\mathbf x_{u},$ samt $\mathbf x_{v},$ ger oss därför $v'=\cos(t),$ eller $v(t)=\sin(t)+c,$ där c är en konstant.

Från (u')²+(v')²=1, får vi sedan att $u'(t)=\pm \sqrt{\cos^{2}(t))}=\pm \sin(t),$ eller $u(t)=\pm \cos(t)+d,$ där d är en konstant. Lösningarna till problemet är alltså

$$\alpha(t)=(\cos(\cos(t)+d),\sin(\cos(t)+d),\sin(t)+c)$$

där c,d är godtyckliga reella tal. (Muinustecknet spelar ingen roll i $\cos$.)

4.

Vi väljer $\alpha(t)=(\cos(\cos(t)),\sin(\cos(t)),\sin(t))$. Eftersom $\alpha$ är parametriserad med båglängd ges krökningen av $\vert\alpha''(t)\vert$och normalkrökningen av $N(\alpha(t))\cdot \alpha''(t)$. Vi får

$$\begin{array} {rcl} \alpha'&=&(\sin(t)\sin(\cos(t)),-\sin(t... ...\ N(\alpha(t))&=&(\cos(\cos(t)),\sin(\cos(t)),0)\\ \end{array}$$

Detta ger oss

$$\begin{array} {rcl} k(t)&=&\cos^{2}(t)+\sin^{4}(t)+\sin^{2}(t)=1+\sin^{4}(t)\\ k_{n}(t)&=& -\sin^{2}(t)\end{array}$$