$\parbox{5cm}{Differentialgeometri\\ V 00 \\ ~~~~\\ ~~~~}$

Förslag till lösning av inlämningsuppgift 6

1.

Vi sätter f(x,y,z)=xy²-z och ser att gradienten till f är (y²,2xy,-1), som aldrig är nollvektorn. Värdet är alltså ett reguljärt värde och ytan f^-1(0), en reguljär orienterbar yta.

2.

Vi väljer $N:S\rightarrow S^{2},$ som normerigen av minus gradienten, dvs $N(x,y,z)=(1/\sqrt{y^{4}+4x^{2}y^{2}+1})(-y^{2},-2xy,1)$.

En (graf)parametrisering av ytan ges av $\mathbf x(u,v)=(u,v,uv^{2})$. Vi beräknar krökningarna med hjälp av denna:

$$\begin{array} {rcllcl} \mathbf x_{u}&=&(1,0,v^{2})&E&=&1+v^{... ...\mathbf x_{vv}&=&(0,0,2u)& g&=&2u/\sqrt{EG-F^{2}}\\ \end{array}$$

Observera att normeringen av $\mathbf x_{u}\times \mathbf x_{v}$ ger N, så att orienteringen stämmer.

Vi får

$$\begin{array} {rcl} K&=&(eg-f^{2})/(EG-F^{2})=-4v^{2}/(EG-F^... ...g-2fF+eG)/(2(EG-F^{2}))=(u-3uv^{4})/(EG-F^{2})^{3/2}\end{array}$$

Vi ser att $K\leq 0,$ så elliptiska punkter saknas. Vi har K=0, bara när v=0, som ger H=u, så $\mathbf x(u,0)=(u,0,0)$ är parabolisk när $u\not=0$ och plan när u=0.

I en navelpunkt ska vi ha K=H², så vi ska ha K=0 (eftersom $K\leq 0$), samt H=0. Ytan har alltså precis en navelpunkt:(0,0,0).

3.

För att bestämma de asymptotiska linjerna ska vi söka u(t) och v(t), så att 0=e(u')²+2fu'v'+g(v')², eller ekvivalent 0=v'(2vu'+uv'). Detta ger oss ekvationerna v'=0, dvs v=c, där c är konstant och -2u'/u=v'/v. Den sista ekvationen ger oss $-2\ln(\vert u\vert)+C=\ln(\vert v\vert),$ eller, efter exponentiering, v=c/u², där c är en konstant.

De asymptotiska linjerna är därför de reguljära kurvorna

$$\{(u,c,uc^{2})\vert u\in\mathbb R\}\mbox{ och } \{u,c/u^{2},c^{2}/u^{3}\vert u\in \mathbb R\},$$

där c är en godtycklig konstant. (Den första av dessa är en rät linje, men inte den andra)

4.

För att visa att $\mathbf x$ är en lokalparametrisering räcker det att kontrollera att den är injektiv, glatt och att dx_q är injektiv för varje q samt att definitionsmängden är öppen.

Det sista är uppenbart. Att $\mathbf x$ är injektiv följer av att den andra koordinaten bestämmer u entydigt och att den första då bestämmer v entydigt. Att $\mathbf x$ är glatt följer av inspektion av koordinatfunktionerna.

Vi har

$$\begin{array} {rcl} \mathbf x_{u}&=&(-v^{1/2}u^{-3/2}/2,1,3v... ...bf x_{v}&=&(v^{-1/2}u^{3/2}/2,1,-v^{-1/2}u^{-1/2}/2)\end{array}$$

Vi ser att $\mathbf x_{u}$ och $\mathbf x_{v}$ är linjärt oberoende och att deras kryssprodukt efter normering ger rätt normal. Därmed är $\mathbf x$ en lokal parametrisering av ytan (kring $\mathbf x(1,1)=(1,1,1)$).

Differentialekvationen för asymptotiska linjer (i lokala koordinater) är e(u')²+2fu'v'+g(v')², så vi beräknar e, f och g:

$$\begin{array} {rcl} \mathbf x_{uu}&=&(3v^{1/2}u^{-5/2}/4,0,... ... x_{vv}&=&(-v^{-3/2}u^{-1/2}/4,0,-v^{-3/2}u^{3/2}/4)\end{array}$$

vilket ger oss e=0, $f=-1/(4v\sqrt{EG-F^{2}})$ och g=0. Differentialekvationen för asymptotisk kurva blir alltså efter förenkling

0=u'v'

Vi ser att detta löses av u=c och v=c, där c är en konstant. Koordinatkurvorna är alltså asymptotiska linjer.