Lösning till MAN500, Differentialgeometri, 99 03 20.

3.

(a)

Om $\alpha$ är asymptotisk gäller att $\langle N,\alpha''\rangle=-\langle N',\alpha'\rangle=0,$ d.v.s normalkrökningen är noll. Tillsammans med $\langle N,\alpha'\rangle=0$ ger detta att N är $\pm b,$ där b är kurvans binormal. Vi har $\mathbf x_{s}=\alpha'+vN'=t\pm v\tau n$ och $\mathbf x_{v}=N=\pm b,$ vilket ger att de är linjärt oberoende, så regelytan är reguljär.

(b)

Observera att regelytans normal är $\pm t\times N$ när v=0. Eftersom $\langle \alpha',\alpha''\rangle=0$ får vi att $\alpha''$ vinkelrät mot N om och endast om $\alpha''$ är parallell med $\pm t\times N$. Detta visar påståendet.

(c)

Vi har $\mathbf x=\alpha+\epsilon vb$ och detta ger $\mathbf x_{sv}=\pm \tau n$ och $\mathbf x_{vv}=0$. Räkningarna ovan ger att regelytansnormal är

$$\pm(-n+v\tau t)/\sqrt{1+v^{2}\tau^{2}}.$$

Detta ger g=0 och $f=-\tau/\sqrt{1+v^{2}\tau^{2}}$. Räkningarna ovan ger också $E=1+v^{2}\tau^{2},\, F=0$ och G=1. Vi får alltså

$$K=(eg-f^{2})/(EG-F^{2})=-\tau^{2}/(1+v^{2}\tau^{2}).$$

4.

(a)

Sätter vi $x=v\cos(u),\,y=v\sin(u)$ och z=u har vi att $y\cos(z)-x\sin(z)=0.$ Har vi å andra sidan en lösning till denna ekvation har vi att (y,x) är parallell med (z=u)vektorn $(\cos(u),\sin(u)),$ d.v.s $x=v\cos(u)$ och $y=v\sin(u),$ för något $v\in \mathbb R$. Detta visar att S är f^-1(0), där f är den glatta funktionen $f(x,y,z)=y\cos(z)-x\sin(z).$ Gradienten till denna är

$$(-\sin(z),\cos(z),-y\sin(z)-x\cos(z)).$$

Eftersom de två första koordinaterna inte kan vara noll samtidigt är ett reguljärt värde och S en reguljär orienterbar yta.

(b)

Vi har en global parametrisering av S, så vi kan skriva $\gamma(t)=\mathbf x(u(t),v(t)),$ för några funktioner u(t) och v(t). Differentialekvationen för geodeter ger att dessa satisfierar

$$\begin{array}[c] {l} 0=u''+\Gamma_{11}^{1}(u')^{2}+2\Gamma_... ...2}+2\Gamma_{12}^{2}u'v'+ \Gamma_{22}^{2}(v')^{2} \end{array}$$

Vi beräknar Kristoffelsymbolerna:

$$\begin{array}[c] {l} \mathbf x_{u}=(-v\sin(u),v\cos(u),1)\\... ... (v/(1+v^{2}))\mathbf x_{u}+(1/\sqrt{1+v^{2}})N. \end{array}$$

Den första ekvationen i differentialekvationen ovan blir alltså

$$0=u''+2u'vv'/(1+v^{2})\Leftrightarrow 0=(u'(1+v^{2}))'$$

Detta ger att u'=c/(1+v²), där c är en konstant. Vi kan förutsätta att $\gamma'$ har längd ett (vi vet att den är konstant $\not=0$ eftersom $\gamma$ är en geodet). Vi får nu att

$$\cos(\theta)=\frac{\langle \mathbf x_{u},u'\mathbf x_{u}+v'\... ...v}\rangle}{\vert\mathbf x_{u}\vert}=\frac{c}{\sqrt{1+v^{2}}},$$

vilket visar påståendet.

5.

En isometri bevarar inre begrepp, så som Gausskrökning och geodeter och båglängd. Längs medianernerna $z=\pm 1$ är Gausskrökningen noll och den är nollskild för övrigt. Detta ger att en isometri f måste bevara dessa medianer eller byta plats på dem. Eftersom meridianerna är geodeter på en rotations yta och vinklar bevaras följer det att f måste avbilda en meridian på en meridian ty de är de enda geodeterna som skär medianerna $z=\pm 1$ vinkelrätt. Eftersom båglängd längs medianerna $z=\pm 1$ bevaras följer det att f måste vara av följande typer:

• en rotation runt z-axeln
• en spegling i ett plan vinkelrätt mot xy-planet
• en spegling i xy-planet sammansatt med någon av de övriga två typerna.

Att dessa ger isometrier av torusen följer av att de är isometrier av $\mathbb R^{3}$. Vi har konstaterat att en isometri av torusen är restriktion av en isometri av $\mathbb R^{3}$. De tillåtna isometrierna är

$$\left( \begin{array} {rrr} \cos(\theta)&\epsilon\sin(\thet... ...eta)&\epsilon\cos(\theta)& 0\\ 0&0&\pm 1 \end{array}\right)$$

där $\epsilon=\pm 1$.

6.

(a)

Vi vet att parallelltransport bevarar första fundamentalformen, så det räcker att visa att parallelltransport är linjär. Låt $v,\,w$ vara vektorer i $T_{\alpha(t_{0})}(S)$ och $\tilde v$ samt $\tilde w$ parallella vektor fält längs $\alpha$ med $\tilde v(t_{0})=v$ och $\tilde w(t_{0})=w$. För skalärer $\lambda$ och $\mu$ är då vektorfältet $\lambda \tilde v+\mu\tilde w$ parallellt längs $\alpha$ eftersom

$$\begin{array} {l} (\lambda \tilde v+\mu\tilde w)'-\langle(\... ... v'-(\tilde v',N))+\mu(\tilde w'-(\tilde w',N))=0 \end{array}$$

(b)

Sätt $w=a\alpha'+bN\times \alpha',$ där a(t) och b(t) är funktioner som vi ska bestämma så att w är parallellt längs $\alpha$. Vi har

$$w'=a'\alpha'+a\alpha''+b'N\times \alpha'+bN'\times \alpha'+ bN\times \alpha''.$$

Vi har att N är vinkelrät mot $\alpha'$ och N' så $N'\times \alpha'$ är en multipel av N. (Eftersom $\alpha$ är en krökningslinje är N' och $\alpha'$ parallella, så $N'\times \alpha'=0,$ men påståendet i uppgiften gäller utan denna förutsättning). Eftersom $\alpha$ är parametriserad med båglängd har vi att $0=\langle\alpha',\alpha''\rangle,$ vilket också ger att $N\times \alpha''$ är en multipel av $\alpha'$. Vi ska ha

$$\begin{array} {r} 0=\langle w',\alpha'\rangle=a'+b\langle\... ...ngle \alpha'',N\times \alpha'\rangle+b'=ak_{g}+b. \end{array}$$

Detta ger

$$\left( \begin{array} {r} a'\\ b' \end{array}\right) =\l... ...ight) \left( \begin{array} {r} a\\ b \end{array}\right),$$

som har lösningarna $(a,b)=e^{\bar k_{g}}A(a_{0},b_{0})$ där $\bar k_{g}$ är en rimitiv funktion till k_g och w(t₀) har koordinaterna (a₀,b₀) i den valda basen och

$$A=\left( \begin{array} {rr} 0&1\\ -1&0 \end{array}\right).$$

Vi ska dessutom välja $\bar k_{g}$ så att $\bar k_{g}(t_{0})=0$. Eftersom

$$e^{tA}=\left( \begin{array} {rr} \cos(t)&\sin(t)\\ -\sin(t)&\cos(t) \end{array}\right)$$

har vi w(t) har koordinaterna

$$\left( \begin{array} {rr} \cos(\tilde k_g)&\sin(\tilde k_g... ...\left( \begin{array} {r} a_{0}\\ b_{0} \end{array}\right)$$

Detta visar påståendet.

(c)

C parametriseras av $\alpha(t)=(\sqrt{3}\cos(2t/\sqrt{3})/2,\sqrt{3}\sin(2t/\sqrt{3})/2,1),\, 0\leq t\leq \sqrt{3}\pi$ som är en parametrisering med båglängd. Eftersom medianer på en rotationsyta är krökningslinjer kan vi använda resultatet ovan. Vi har N(x,y,z)=(x,y,z/2) (t.ex) och får

$$\begin{array} {l} \alpha'=(-\sin(2t/\sqrt{3}),\cos(2t/\sqrt... ...qrt{3})/\sqrt{3},-2\sin(2t/\sqrt{3})/\sqrt{3},0), \end{array}$$

så $k_{g}=-1/\sqrt{3}$. Vi väljer $\bar k_{g}=-t/\sqrt{3}$ och får att parallelltransport ett varv längs $\alpha$ med början i $(\sqrt{3}/2,0,1)$ reprsenteras av

$$\left( \begin{array} {rr} \cos(2\pi/\sqrt{3})& -\sin(2\pi/... ... \sin(2\pi/\sqrt{3})& \cos(2\pi/\sqrt{3} \end{array}\right).$$