Lösning till MAN500, Differentialgeometri, 99 04 07.

3.

(a)

Vi har

$$\begin{array} {rcl} \alpha'(t)&=&(\cos(t)-t\sin(t),\sin(t)+... ...s\alpha''(t)\vert^{2}=-(6+t^{2})/(8+5t^{2}+t^{4}) \end{array}$$

(b)

S är funktionsytan till $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\,(x,y)\in\mathbb R^{2}\setminus\{(0,0)\},$ som är glatt. Därför är S en reguljär yta.

Eftersom $(t\cos(t))^{2}+(t\sin(t))^{2}-t^{2}=0$ ligger spåret av $\alpha$ på S när t>0.

För en kurva $\beta$ paramteriserad med båglängd ges den geodetiska krökningen av $k_{g}=\langle N\times \beta',\beta''\rangle,$ där N är en normal för ytan. Vi kan välja $\phi,$ så att $\phi'\gt$ och $\beta=\alpha\circ\phi$ är parametriserad med båglängd. Vi har då $\phi'\vert\alpha'\vert=1$ och $\beta'=\phi'\alpha',\,\beta''=\phi''\alpha'+(\phi')^{2}\alpha''$. Detta ger, efter förenkling,

$$k_{g}=\frac{\langle \alpha'\times\alpha'', N\rangle}{\vert\alpha'\vert^{3}}$$

Vi väljer $N=(x,y,-z)/(\sqrt{2}z)$ och får

$$\begin{array} {rcl} N&=&(\cos(t),\sin(t),-1)/\sqrt{2}\\ k_{g}&=&-t/(\sqrt{2}(\sqrt{2+t^{2}})^{3}) \end{array}$$

4.

(a)

Vi parametriserar ytan med $\mathbf x=(u,v,u^{2}+uv^{2})$ och får

$$\begin{array} {rcl} \mathbf x_{u}&=&(1,0,2u+v^{2})\ \math... ...^{2})/(EG-F^{2})\ H&=&(Eg-2fF+eG)/(2(EG-F^{2})) \end{array}$$

Vi får alltså $K=0\Leftrightarrow eg-f^{2}=0\Leftrightarrow u=v^{2},$ d.v.s Gausskrökningen är i punkterna (v²,v,2v⁴) där $v\in\mathbb R$.

(b)

I en plan punkt gäller att K=H=0. Vi har $H=0\Leftrightarrow Eg-2fF+eG=0$. Vi vet redan att $K=0\Leftrightarrow u=v^{2}$. Detta ger nu

$$H=0\Leftrightarrow 0=(1+9v^{4})2v^{2}-24v^{6}+2(1+4v^{6})=2(w^{3}+w+1),$$

där w=v². Funktonen f(w)=w³+w/+1 har derivata f'(w)=3w²+1, så f är strängt växande. Eftersom $f(0)=1,\,f(-1)=-1$ har f precis ett reellt nollställe och detta är negativt. Men w=v², så H saknarnollställen, när K=0. Vi får att plana punkter saknas.

(c)

Differentialekavtionen för en asymptotisk kurva är i lokalframställning

e(u')²+2fu'v'+g(v')²=0.

Vi har u=-5t²/4 och v=t. Detta ger

$$0=e(25t^{2}/4)-5ft+g\Leftrightarrow 0=25t^{2}/2-10t^{2}-5t^{2}/2$$

Vilket är sant. Kurvan är alltså asymptotisk.

5.

(a)

Vi väljer en lokal parametrisering $\mathbf x:U\rightarrow S$kring $p\in S$. Då är $\{\mathbf x_{u},\mathbf x_{v}\}$ en bas för T_p(S). Det räcker därför att visa att $\langle dN_{p}\mathbf x_{u},\mathbf x_{v}\rangle=\langle \mathbf x_{u},dN_{p}\mathbf x_{v}\rangle,$ eller, med bekvämare beteckningar, att $\langle N_{u},\mathbf x_{v}\rangle=\langle \mathbf x_{u},N_{v}\rangle$. Men derivering av $\langle N,\mathbf x_{u}\rangle=0=\langle N,\mathbf x_{v}\rangle$ med avseende på v respektive v ger

$$\langle N_{v},\mathbf x_{u}\rangle+\langle N,\mathbf x_{uv}... ... N_{u},\mathbf x_{v}\rangle+\langle N,\mathbf x_{vu} \rangle$$

och därmed $\langle N_{u},\mathbf x_{v}\rangle=\langle \mathbf x_{u},N_{v}\rangle,$ eftersom $\mathbf x_{vu} =\mathbf x_{uv}$.

(b)

Eftersom $\gamma$ är en geodet är den (så när som på en konstant$\not=0$) parametriserad med båglängd och $\gamma''$ är en multipel av så väl ytans normal som kurvans normal. Detta ger att t och b ligger i tangentrummet. De bildar en bas för detta eftersom de är ortogonala och rummet har dimension 2.

(c)

Eftersom $\gamma$ är en geodet har vi $\langle N,n=\epsilon,$ där $\epsilon=\pm1$. Detta ger

$$\begin{array} {rcl} \langle dN_{p}t,t\rangle&=&\langle N',t... ...ilon\ \langle dN_{p}b,b\rangle&=&a\mbox{, säg.} \end{array}$$

I ON-basen $\{t,b\}$ är matrisen för dN_p därför

$$dN_{p}=-\epsilon\left( \begin{array} {rr} k&\tau\ \tau&a \end{array}\right)$$

Eftersom K=0 är $0=\mbox{det}(dN_{p})=ka-\tau^{2},$ så $a=\tau^{2}/k$. Eftersom $H=-\mbox{trace}(dN_{p})/2$ får vi alltså

$$H=\epsilon\frac{k^{2}+\tau^{2}}{2k}$$

6.

(a)

Eftersom ytan är reguljär kan vi välja en lokal parametrisering $\mathbf x:U\rightarrow S,$ med $\mathbf x(q)=p$. Genom att sätta ihop $\mathbf x$ med en translation av $\mathbb R^{2}$ kan vi förutsätta att q=(0,0). Vi kan parametrisera om kurvan $u\mapsto \mathbf x(u,0)$ med båglängd genom att sätta samman med en glatt funkton $\phi(u),$ där $\phi'\gt$ och $\phi(0)=0$ ($\phi$ är båglängden mätt från u=0). Detta ger att $\phi$ är inverterbar och funktionen $(u,v)\mapsto (\phi^{-1}(u),v)$ är en diffemorfi från U till sin bild V, säg, med invers $(u,v)\mapsto (\phi(u),v)$. Sätter vi samman $\mathbf x$ med denna får vi en lokal paramterisering, igen kallad $\mathbf x:V\rightarrow S$ av S kring p, som uppfyller villkoren.

(b)

Eftersom vi startade med en godtycklig paramtrisering i (a) kan vi anta att den vara en parametrisering vars koordinatkurvor är krökningslinjer. Den omparametrisering vi gjorde i (a) förändrar inte det faktum att koordinatkurvorna är krökningslinjer. Eftersom K=0 är principalkrökningen i en av koordinatkurvornas riktning. Vi kan lika gärna förutsätta att detta inträffar när v är konstant. Detta betyder att dessa kurvor är asymptotiska.

(c)

Vi vet nu att vi kan välja en lokal parametrisering $\mathbf x:U\rightarrow S,$ med $\mathbf x(0,0)=p,$ $u\mapsto \mathbf x(u,0)$ parametriserad med båglängd och koordinatkurvorna u=konstant krökningslinjer och v=konstant såväl krökningslinjer som asymptotiska kurvor. För att visa att dessa är räta linjer räcker det att visa att $\mathbf x_{uu}=0$.

Eftersom v=konstant ger en asymptotisk koordinatkurva har vi $0=\langle N_{u},\mathbf x_{u}\rangle=-\langle N,\mathbf x_{uu}\rangle,$ så $\mathbf x_{uu}$ ligger i tangentrummet.

Eftersom koordinatkurvorna u=konstant är krökningslinjer har vi $\mathbf x_{v}=-\lambda N_{v},$ där $\lambda\not=0$ eftersom p inte är en navelpunkt ($\lambda$ är den nollskilda prinicpalkrökningen). Eftersom koordinatkurvorna v=konstant är asymptotiska har vi N_u=0

Eftersom prinicpalriktningar är ortogonala när principalkrökningarna är olika, har vi att $0=\langle \mathbf x_{u},\mathbf x_{v}$. Vi får nu

$$\langle \mathbf x_{uu},\mathbf x_{v}\rangle=\frac{1}{\lambd... ...big((\lambda\langle \mathbf x_{u},\mathbf x_{v})_{u}\big)=0.$$

Detta ger att $\mathbf x_{uu}$ är en multipel av $\mathbf x_{u}$.

Vi får också

$$\langle \mathbf x_{u},\mathbf x_{u}\rangle_{v}=2\langle \mat... ...uv}\rangle=-2\langle \mathbf x_{uu},\mathbf x_{v}\rangle =0.$$

Eftersom $\langle \mathbf x_{u}(u,0),\mathbf x_{u}(u,0)\rangle=1$ ger detta nu $\langle \mathbf x_{u}(u,v),\mathbf x_{u}(u,v)\rangle=1$.

Derivering av denna likhet ger

$$0=\langle\mathbf x_{uu},\mathbf x_{u}\rangle$$

och där med är $\mathbf x_{uu}=0$ och koordinatkurvorna v=konstant räta linjer.