Lösning till MAN500, Differentialgeometri, 99 04 07.

1.

Kurvans tangentvektor är normal till normalplanet (som spänns av normalen och binormalen). Kurvans tangent är

$$\alpha'(t)=(2\sin(t)\cos(t),1-2\sin^{2}(t),-\sin(t)).$$

För att visa att kurvans normalplan i $\alpha(t)$ går genom origo räcker det att visa att $\alpha(t)\cdot\alpha(t)=0$. Vi får

$$\alpha(t)\cdot\alpha(t)= 2\sin^{3}(t)\cos(t)+\sin(t)\cos(t)-2\sin^{3}\cos(t)-\sin(t)\cos(t)=0.$$

2.

Vi har

$$\begin{array} {rcl} \alpha'(t)&=&(1-\cos(t),\sin(t),2)\\ ... ...(t),0)\\ \alpha'''(t)&=&(-\cos(t),-\sin(t),0), \end{array}$$

så

$$\begin{array} {rcl} \vert\alpha'(t)\vert&=&\sqrt{6-2\cos(t)... ...{det}(\alpha'(t),\alpha''(t),\alpha'''(t))&=&-2. \end{array}$$

Detta ger

$$\begin{array} {rcl} k(t)&=& \frac{\vert\alpha'(t)\times\alp... ...)\vert^{2}}= \frac{2}{5-2\cos(t)+cos^{2}(t)}\\ \end{array}$$

3.

Om $\beta$ är en kurva parametriserad med båglängd på S med normal N, ges den geodetiska krökningen av $\beta$ av

$$k_{g}=\mbox{det}(N,\beta',\beta'')=\langle N,\beta'\times\beta''\rangle.$$

En godtycklig kurva $\alpha$ kan parametriseras om så att $\beta(t)=\alpha(s(t))$ är parametriserad med båglängd. Vi får

$$\begin{array} {rcll} \beta'&=&s'\alpha' & \mbox{ (så } 1=s'... ...\alpha'\times\alpha'')/\vert\alpha'\vert^{3} & \\ \end{array}$$

Vi får alltså

$$k_{g}=\frac{\mbox{det}(N,\alpha',\alpha'')}{\vert\alpha'\vert^{3}}.$$

Från uppgiften får vi

$$\begin{array} {rcl} \alpha'(t)&=&(0,1,-2t)\\ \alpha''(t)&=... ...-2)\\ N(t)&=&(2k,-2t,-1)/\sqrt{4k^{2}+4t^{2}+1}, \end{array}$$

där vi använt att normeringen av $\mbox{grad}(x^{2}-y^{2}-z)=(2x,-2y,-1)$ ger en normal till ytan.

Den geodetiska krökningen blir alltså

$$k_{g}(t)=-4k/(\sqrt{4k^{2}+4t^{2}+1}(1+4t^{2})^{3/2}).$$

4.

(a)

Vi försöker visa att $\mathbf x(u,v)=(u\cos(v),u\sin(v),v+\ln(u))$ är en reguljär homeomorfi från $U=\{(u,v)\,\vert\,u\gt,y\in\mathbb R\}$ till $\mathbf x(U).$

Vi har $\mathbf x_{u}=(\cos(v),\sin(v),1/u)$ och $\mathbf x_{v}=(-u\sin(v),u\cos(v),1)$ och $\vert\mathbf x_{u}\times\mathbf x_{v}\vert=((\sin(v)-\cos(v))^{2}+ (-\cos(v)+\sin(v)^{2})+u^{2})\gt,$ så $\mathbf x$ är reguljär.

Om $\mathbf x(u,v)=(x,y,z)$ är $u=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ och $v=z-\ln(x^{2}+y^{2})/2,$ så $\mathbf x$ har en kontinuerlig invers. Därmed är $\mathbf x$ en (lokal) parametrisering av $\mathbf x(U),$ som alltså är en reguljär yta.

(b)

Vi bestämmer $E,\,F,\,G,\,e,\,f$ och g.

$$\begin{array} {rclrcl} \mathbf x_{u}&=&(\cos(v),\sin(v),1/u... ...&(-u\cos(v),-u\sin(v),0)& g&=& u/\sqrt{EG-F^{2}}. \end{array}$$

Detta ger nu

$$\begin{array} {rcl} K=\frac{eg-f^{2}}{EG-F^{2}}&=&\frac{-2}... ...G-2fF+Eg}{EG-F^{2}}&=&\frac{2}{u(2+u^{2})^{3/2}}. \end{array}$$

(c)

Av formeln för K ser vi att alla punkter är hyperboliska.

5.

Att $\gamma$ är en krökningslinje betyder att $N'=\lambda\gamma',$ för någon reellvärd funktion $\lambda$.

En bas för $\mathbb R^{3}$ ges av $\gamma',\,N$ och $\gamma'\times N$. Vi kan skriva $\gamma''=a\gamma'+bN,$ för några reellvärda glatta funktioner. Vi får

$$\gamma'''=a'\gamma'+a\gamma''+b'N+bN'=(a'+a^{2}+b\lambda)\gamma'+(ab+b')N.$$

Av detta följer att

$$\mbox{det}(\gamma',\gamma'',\gamma''')=0,$$

så $\gamma$ har torsion och är därmed plan eftersom k>0.

6.

(a)

(Se kurlitteraturen)

(b)

Vi har

$$\begin{array} {rclcrcl} \mathbf x_{u}&=& (1,1,4v)\\ \mathb... ...\Gamma^{i}_{22}&=&0\\ \mathbf x_{uv}&=&(0,0,4)\\ \end{array}$$

Vi ser att $4v\mathbf x_{u}+4u\mathbf x_{v}= 2\sqrt{8u^{2}+8v^{2}+1}N+(0,0,4v^{2}+4u^{2}+2),$ så

$$\mathbf x_{uv}=\frac{8v}{2u^{2}+2v^{2}+1}\mathbf x_{u}+\frac{8u}{2u^{2}+2v^{2}+1}\mathbf x_{v}$$

och

$$\Gamma^{1}_{12}=\frac{8v}{2u^{2}+2v^{2}+1}~~~~ \Gamma^{2}_{12}=\frac{8u}{2u^{2}+2v^{2}+1}.$$

Differentialekvationen blir därför

$$\left\{ \begin{array} {rcl} u''+8u'vv'/(2u^{2}+2v^{2}+1)&=&0\\ v''+8uu'v'/(2u^{2}+2v^{2}+1)&=&0.\\ \end{array} \right.$$