Tillägg om öppna mängder

Den öppna bollen med radie $\epsilon\gt$ runt $p\in \mathbb R^{n}$ är

$$B_{\epsilon}(p)=\{q\in \mathbb R^{n}\,\vert\,\vert p-q\vert<\epsilon\}.$$

En delmängd $V\subseteq\mathbb R^{n}$ är öppen (i $\mathbb R^{n}$) om det till varje $p\in V$ finns $\epsilon$ så att $B_{\epsilon}(p)\subseteq V$.

Lemma 1

Låt V vara en delmängd till $\mathbb R^{n}$. Följande är ekvivalent:

1.

V är öppen,

2.

V är en union av bollar.

Bevis. Antag 1). Runt varje $p\in V$ finns en boll innehållen i V och V är unionen av dessa.

Antag nu 2) och att $p\in V$. Eftersom V är en union av bollar finns $B_{\epsilon}(q)\subseteq V,$ så att $p\in B_{\epsilon}(q)$. Låt $\delta=\epsilon-\vert p-q\vert$. Triangelolikheten ger nu att om $r\in B_{\delta}(p),$ så gäller

$$\vert r-q\vert\leq \vert r-p\vert+\vert p-q\vert< \epsilon.$$

Detta ger att $B_{\delta}(p)\subseteq B_{\epsilon}(q)\subseteq V,$ så V är öppen.

Låt nu $S\subseteq\mathbb R^{n}$ vara en godtycklig mängd. En delmängd $W\subseteq S$ är öppen i S om det finns öppen mängd V i $\mathbb R^{n},$ så att $W=V\cap S$. Ett koordinatområde $\mathbf x(U)$ på en reguljär yta $S\subset \mathbb R^{3}$ är t.ex öppen i S.

Av definitionen och lemma 1 följer genast:

Lemma 2

Om $V_{i},i\in I$ är öppna i S, så är

$$\bigcup_{i\in I}V_{i}\mbox{ ~~~och~~~ }V_{i}\cap V_{j}$$

öppna i S.

Godtyckliga unioner och ändliga snitt av öppna mängder är alltså öppna.

Lemma 3

För en delmängd $W\subseteq S$ är följande ekvivalent:

1.

W är öppen i S,

2.

För varje $p\in W$ finns ett $\epsilon\gt,$ så att

$$S\cap B_{\epsilon}(p)\subseteq W.$$

Bevis. Antag 1) och låt $V\subseteq\mathbb R^{n}$ vara en öppen mängd så att $W=V\cap S$. Till $p\in W$ finns $\epsilon\gt$ så att $B_{\epsilon}(p)\subseteq V$ och vi får

$$B_{\epsilon}(p)\cap S\subseteq V\cap S= W$$

Antag nu 2) och välj för varje $p\in W$ ett $\epsilon(p)\gt,$ så att $S\cap B_{\epsilon(p)}(p)\subseteq W$. Låt $V\subseteq R^{n}$ vara uninonen av alla bollar $B_{\epsilon(p)}(p),$ $p\in W$. Då är V öppen i $\mathbb R^{n}$ och $V\cap S=W$.

En funktion $f:S_{1}\rightarrow S_{2},$ där $S_{1}\subset \mathbb R^{n}$ och $S_{2}\subset\mathbb R^{m}$ är kontiuerlig i $p\in S_{1}$ om det till varje $\epsilon\gt$ finns ett $\delta\gt,$ så att

$$f(B_{\delta}(p)\cap S_{1})\subset B_{\epsilon}(f(p))(\cap S_{2}).$$

Funktionen f är kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje $p\in S_{1}$.

Av definitionen följer att en restriktion av en kontinuerlig funktion är kontinuerlig. Det är ingen konst att visa att en sammansättning av två kontinuerliga funktioner är kontinuerlig.

Lemma 4

Antag att $f:S_{1}\rightarrow S_{2}$. Följande är ekvivalent:

1.

f är kontinuerlig,

2.

f^-1(W) är öppen i S₁ om $W\subseteq S_{2}$ är öppen i S₂.

Bevis. Antag 1) och låt $W\subseteq S_{2}$ vara öppen. Tag $p\in f^{-1}(W),$ d.v.s ett $p\in S_{1},$ sådant att $f(p)\in W.$ Eftersom W är öppen i S₂ finns ett $\epsilon\gt,$ så att $B_{\epsilon}(f(p))\cap S_{2}\subseteq W$. Kontinuitet av f ger nu $\delta\gt,$ så att $f(B_{\delta}(p)\cap S_{1})\subseteq B_{\epsilon}(f(p))\cap S_{2},$ d.v.s $B_{\delta}(p)\cap S_{1}\subseteq f^{-1}(W)$. Enligt lemma 3 är f^-1(W) öppen.

Antag 2) och att $p\in S_{1}$. Eftersom $B_{\epsilon}(f(p))\cap S_{2}$är öppen i S₂ är $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(p))\cap S_{2})$ en öppen mängd i S₁ som innehåller p. Det finns enligt lemma 3 ett $\delta\gt,$ så att $B_{\delta}(p)\cap S_{1}\subseteq f^{-1}(B_{\epsilon}(f(p))\cap S_{2})$. Detta ger

$$f(B_{\delta}(p)\cap S_{1})\subseteq B_{\epsilon}(f(p))\cap S_{2}$$

och därmed kontinuiteten av f i $p\in S_{1}$.

Lemma 5

Antag att $\mathbf x:U\rightarrow S$ är en lokal parametrisering av den reguljära ytan $S\subset \mathbb R^{3}$ och att U₀ är en öppen delmängd till U. Då är restriktionen $\mathbf x_{\vert}:U_{0}\rightarrow S$ också en lokal parametrisering.

Bevis. Avbildningen $\mathbf x_{\vert}$ är restriktion av en kontinuerlig glatt bijektion till en öppen delmängd och har därför samma egenskaper. Eftersom $(\mathbf x_{\vert})^{-1}=(\mathbf x^{-1})_{\vert}$ är den kontinuerlig. Eftersom $d\mathbf x_{\vert q}=d\mathbf x_{q},$ när $q\in U_{0}$ är den injektiv.

Det återstår att visa att $\mathbf x_{\vert}(U_{0})=\mathbf x(U_{0})$ är öppen i S. Men $\mathbf x(U_{0})=(\mathbf x^{-1})^{-1}(U_{0})$ som är öppen i S enligt lemma 4.