Tentamen i MAN500 Differentialgeometri, 5p,
00 04 17, kl 8.45-13.45.
- Låt vara en reguljär yta i
.
- Vad menas med en tangentvektor till i punkten ?
- Visa att mängden av tangentvektorer till i bildar
ett tvådimensionellt linjärt rum.
- Antag att
är glatt. Hur definieras
differentialen till ?
- Låt vara
. Visa att
är
glatt och beräkna
determinanten av
när
().
- Visa att Gausskrökningen kan uttryckas med hjälp av koefficienterna i
första fundamentalformen.
- Låt
.
- Bestäm kurvans tangent- och normalvektor.
- Bestäm kurvans krökning och torsion.
- Visa att mängden av punkter i rummet sådana att
är en reguljär orienterbar yta.
- Välj en Gaussavbildning för och beräkna den geodetiska
krökningen av relativt .
- Låt vara den parametriserade ytan
- Visa att är reguljär.
- Bestäm Gausskrökningen och medelkrökningen (välj själv normal).
- Bestäm ytans asymptotiska kurvor.
- Låt vara en reguljär orienterbar yta och ett plan, sådant att
är en sammanhängande reguljär kurva. Visa att är en
krökningslinje på om vinkeln mellan och är konstant.
- En båglängdsparametriserad kurva är en cylindrisk helix
om det finns en vektor (av enhetslängd), så att
är konstant.
Antag att har positiv krökning . Visa att är en
cylindrisk helix om och endast om är konstant, där är
kurvans torsion.