Tentamen i MAN500 Differentialgeometri, 5p, 00 08 16, kl 8.45-13.45

1.

(a)

Vad menas med en parametriserad geodet $\gamma$ på en reguljär yta S?

(b)

Härled differentialekvationerna för parametriserade geodeter på S i en lokal parametrisering.

2.

(a)

Vad menas med en reguljär yta?

(b)

Visa att en sådan yta har en grafparametrisering kring varje punkt.

3.

Låt $\alpha:I\rightarrow\mathbb R^{3}$ vara en glatt båglängdsparametriserad kurva med positiv krökning k och torsion $\tau$. Låt $\gamma$ vara kurvan $\gamma=\alpha'$ på S².

(a)

Visa att $\gamma$ har krökning $\sqrt{k^{2}+\tau^{2}}/k$ och torsion

$$-\frac{k'\tau-k\tau'}{k(k^{2}+\tau^{2})}.$$

(b)

Visa att spåret av $\gamma$ ligger på en cirkel om och endast om $\tau/k$ är konstant.

4.

(a)

Visa att f(x,y,z)=(z⁴-z²+1)^-1/2(x²-y²,2xy,z) definierar en glatt funktion $f:S^{2}\rightarrow S^{2},$ där $S^{2}=\{p\in \mathbb R^{3}\,\vert\,\vert p\vert=1\}$.

(b)

Finns det några $p\in S^{2}$ sådana att df_p är en isometri? Vilka i så fall?

5.

Punkterna p(t) och q(t) rör sig längs kurvorna (0,t,t³/3) respektive (1,t,0).

(a)

Visa att mängden

$$S=\{uq(v)+(1-u)p(v)\,\vert\,u,v\in \mathbb R\}$$

är en reguljär orienterbar yta.

(b)

Karaktärisera punkterna på S (elliptiska, hyperboliska, paraboliska, plana punkter, navelpunkter).

(c)

Bestäm de asymptotiska kurvorna på S.

6.

Låt $\alpha:I\rightarrow\mathbb R^{3}$ vara en plan glatt reguljär kurva parametriserad med båglängd med positiv krökning. En evoluta $\beta:I\rightarrow \mathbb R^{3}$ är en glatt kurva sådan att tangentlinjen till $\beta$ i $\beta(s)$ skär $\alpha$ i $\alpha(s)$ i rät vinkel.

(a)

Bestäm alla evolutor till $\alpha$.

(b)

Ange ett villkor på $\alpha$ sådant att alla dess evolutor är reguljära.

(c)

Visa att det finns högst en plan reguljär evoluta till $\alpha$.

Skrivningarna beräknas vara färdigrättade måndgaen den 28 augusti. De kan i så fall återfås i mottagningsrummet i matematiskt centrum från denna dag. Öppettider: måndag - fredag 12.30-13.00. Reusultat per telefon fås från samma dag på 772 35 93 efter kl. 14.00.