Kontinuitet av funktioner med godtycklig definitionsmängd.

Do Carmo har en egen definition av vad det betyder att en funktion $f:A\rightarrow \mathbb R,$ där A är en godtycklig delmängd till $\mathbb R^{n},$ är kontinuerlig:

Definition Funktionen f är kontinuerlig om det finns en öppen mängd $U\supset A$ och en kontinuerlig funktion $\bar f:U\rightarrow \mathbb R$ som restringerar till f på A, d.v.s $f=\bar f_{\vert A}$.

Den vanliga (ortodoxa) definitionen är:

Definition Funktionen f är kontinuerlig i $p\in A$ om det till varje $\epsilon \gt$ finns ett $\delta \gt,$ så att

$$f(B_{\delta}(p)\cap A)\subset B_{\epsilon}(f(p)).$$

Man inser genast att om f är kontinuerlig i Do Carmos mening, så är den ortodoxt kontinuerlig. Men följande exempel visar att omvändingen inte gäller i allmänhet:

Exempel Låt $A\subset \mathbb R$ vara $A=\{0\}\cup\bigcup_{i=1}^{\infty}]1/(i+1),1/i[$ och sätt

$$f(x)=\left\{ \begin{array}[c] {rcl} 0&\mbox{om}& x=0\\ 1/i&\mbox{om}&x\in ]1/(i+1),1/i[\end{array}\right.$$

Då är f uppenbart (orotdoxt) kontinuerlig i varje punkt i ]1/(i+1),1/i[, men också i 0, eftersom $f(x)\rightarrow 0,$ när $x\rightarrow 0+$. Å andra sidan kan f inte utvidgas till en kontinuerlig funktion på en öppen mängd som innehåller A. En sådan skulle nämligen innehålla en omgivning till och därmed alla ]1/(i+1),1/i[ när i är tillräckligt stort. Eftersom restriktionen av f till $]1/(i+2),1/(i+1)[\cup]1/(i+1),1/i[$ saknar kontinuerlig utvidgning till ]1/(i+2),1/i[ är existensen av $\bar f$ i Do Carmos definition utesluten.

I kursen kommer vi framgent att använda den vanliga definitionen av kontinuitet. Det innebär att de två sista raderna i punkt 2 i definitionen av en reguljär yta (definition 1 sidan 52) bör strykas.

I beviset av proposition 4 sidan 64 använder Do Carmo den vanliga definitionen av kontinuitet och inte sin egen.