Tentamen i MAN500 Differentialgeometri, 00 03 15, kl 8.45-13.45.

1.

(a)

Låt S vara en reguljär orienterbar yta med Gaussavbildning N. Hur definieras normalkrökningen av en reguljär kurva C på S i punkten p?

(b)

Visa att Weingartenavbildningen -dN_p är självadjungerad.

(c)

Hur definieras Gausskrökningen och medelkrökningen av S i p?

(d)

Visa att summan av normalkrökningarna i två ortogonal riktningar (tangentvektorer av längd 1) är 2H(p).

2.

(a)

Hur definieras krökning och torsion av en reguljär båglängdsparametriserad kurva?

(b)

Härled Frenets ekvationer och visa att det finns, så när som på translation och rotation, precis en kurva med given krökning och torsion.

(c)

Uttryck krökningen och torsionen av en godtycklig reguljär parametriserade kurva $\alpha$ med hjälp av storheterna $\alpha',$ $\alpha''$ samt $\alpha'''$.

3.

(a)

Visa att mängden av punkter av formen (u(v²+1),uv,(1-u)v), där $u,\,v\in \mathbb R$ är en reguljär orienterbar yta S.

(b)

Bestäm de asymptotiska kurvorna på S.

(c)

Har S några navelpunkter, plana punkter eller paraboliska punkter?

4.

(a)

Bestäm den geodetiska krökningen av kurvan $\alpha(t)=(\sqrt{2}\cos(t/\sqrt{2}),\sqrt{2}\sin(t/\sqrt{2}),1)$ på ytan S av lösningar till x²+y²=z²+1. (Välj själv normal till ytan.)

(b)

Låt P vara parallelltransport längs $\alpha$ från $\alpha(0)=(\sqrt{2},0,1)=p$ till $\alpha(2\sqrt{2}\pi)=(\sqrt{2},0,1)$. Ange en bas för T_p(S) och bestäm P med hjälp av denna.

5.

(a)

Låt S vara en reguljär yta och $\bar{N}:S\rightarrow \mathbb R^{3}$ en glatt funktion, sådan att $\bar{N}(p)\cdot v=0,$ när $v\in T_{p(s)}$.

Visa att om $w_{1},\,w_{2}$ är en bas för T_p(S), så kan ytans medelkrökning (relativt normeringen av $\bar{N}$) bestämmas som

$$H(p)=-\frac{\mbox{det}(\bar{N},d_{p}\bar{N}w_{1},w_{2})+ \m... ...w_{2})} {\vert\bar{N}\vert\mbox{det}(\bar{N},w_{1},w_{2})} .$$

(b)

Bestäm medelkrökningen av den reguljära ytan som består av lösningarna till xyz=1. (Välj själv normal.)

6.

(a)

Visa att det för varje funktion k(s)>0, $s\in I,$ och $s_{0}\in I,$ finns en båglängdsparametriserad kurva $\alpha,$ definierad i en omgivning av s₀, med egenskapen att normalplanet i varje punkt $\alpha(s)$ tangerar enhetssfären och att är kurvans krökning är en restriktion av k. (Det är alltså inte säkert att $\alpha(s)$ är definierat för på hela I.)

(b)

Vilka är de möjliga värdena på en sådan kurvas torsion?

Skrivningen beräknas vara färdigrättad fredagen den 24 mars.