Tentamen i MAN500 Differentialgeometri, 99 03 20, kl 8.45-13.45.

1.

Låt $\alpha:I\rightarrow \mathbb R^{3}$ vara en kurva parametriserad med båglängd.

(a)

Definiera begreppen tangent, normal och binormal, krökning och torsion till kurvan.

(b)

Härled, under lämplig förutsättning, Frenets ekvationer för $\alpha$.

2.

Definiera vad som menas med tangentrummet till en reguljär yta och visa att det är ett linjärt rum av dimension 2.

3.

Låt S vara en reguljär orienterad yta och $\alpha:I\rightarrow S$ en reguljär kurva parametriserad med båglängd. Sätt $w(t)=N(\alpha(t)),$ där N är Gaussavbildningen för S och låt $\mathbf x(t,v)$ vara regelytan $\mathbf x(t,v)=\alpha(t)+vw(t)$.

(a)

Visa att regelytan är reguljär om $\alpha$ är en asymptotisk kurva på S.

(b)

Visa att $\alpha$ är en geodet på regelytan om och endast om den är en asymptotisk kurva på S.

(c)

Uttryck Gausskrökningen för regelytan med storheter som bara beror på $\alpha$ (och (t,v)) när $\alpha$ är en asymptotisk kurva på S.

4.

Låt S vara skruvytan som parametriseras av $\mathbf x(u,v)=(v\cos(u),v\sin(u),u)$ där $u,v\in \mathbb R$.

(a)

Visa att skruvytan är en reguljär orienterbar yta.

(b)

Låt $\gamma(t)$ vara en geodet på S, och $\theta(t)$ vinkeln mellan $\gamma$ och koordinatkurvan v=konstant genom $\gamma(t)$. Visa att

$$\cos(\theta(t))\sqrt{1+v(t)^{2}}=\mbox{konstant},$$

där v(t) är avståndet mellan $\gamma(t)$ och z-axeln.

5.

Låt S vara torusen som fås då cirkeln (x-2)²+z²=1 i $x\,z$-planet roterar kring z-axeln.

Bestäm alla isometrier $f:S\rightarrow S$.

6.

Låt $\alpha:I\rightarrow S$ vara en krökningslinje parametriserad med båglängd på den orienterade reguljära ytan S med Gaussavbildning N.

(a)

Visa att parallelltransport av vektorer längs $\alpha$definierar en isometri

$$T_{\alpha(t_{0})}(S)\rightarrow T_{\alpha(t_{1})}(S),\,t_{0}<t_{1}\in I.$$

(b)

Välj basen $\{\alpha'(t),\,N(\alpha(t))\times \alpha'(t)\}$ i $T_{\alpha(t)}(S)$. Visa att parallelltransporten längs $\alpha$ med detta basval har matrisen

$$\left( \begin{array} {rr} \cos(\bar{k_{g}})&\sin(\bar{k_{g}})\\ -\sin(\bar{k_{g}})&\cos(\bar{k_{g}}) \end{array}\right),$$

där $\bar{k_{g}}$ är en primitiv funktion till den geodetiska krökningen av $\alpha$ med $\bar{k_{g}}(t_{0})=0$.

(c)

Låt S vara ellipsoiden x²+y²+z²/4=1 och C den slutna reguljära kurva som uppstår när S skärs med planet z=1. Beräkna parallelltransporten ett varv längs kurvan. (Välj en orientering.)