Tentamen i MAN500 Differentialgeometri, 99 08 18, kl 8.45-13.45.

1.

Visa att alla normalplanen till kurvan

$$\alpha(t)=(\sin^{2}(t),\sin(t)\cos(t),\cos(t))$$

går genom origo.

2.

Bestäm krökningen och torsionen av kurvan

$$\alpha(t)=(t-\sin(t),1-\cos(t),2t).$$

3.

Låt S vara ytan x²-y²=z. Bestäm den geodetiska krökningen av $\alpha(t)=(k,t,k^{2}-t^{2})$ på S, där k är en konstant.

4.

(a)

Visa att $\{(u\cos(v),u\sin(v),v+\ln(u))\,\vert\,u\gt,\,v\in \mathbb R\}$ är en reguljär orienterbar yta.

(b)

Bestäm ytans Gausskrökning och medelkrökning. (Välj själv normal.)

(c)

Karaktärisera ytans punkter.

5.

Antag att $\gamma$ är en glatt kurva på den reguljära orienterbara ytan S, med positiv krökning. Visa att om $\gamma$ är en geodet och en krökningslinje, så är $\gamma$ en plan kurva.

6.

(a)

Låt S vara en reguljär orienterbar yta med den lokala parametriseringen
$\mathbf x:U\rightarrow S,\,(u,v)\mapsto \mathbf x(u,v).$ Härled en differentialekvation för u(t) och v(t), sådan att $\mathbf x(u(t),v(t))$ är en geodet på S om ekvationen satisfieras.

(b)

Bestäm differentialekvationen när S är ytan x²-y²=z och
$\mathbf x(u,v)=(u+v,u-v,4uv).$