Kapitel 3:

Man ska förstå vad en Gaussavbildning för en orienterbar reguljär yta är och hur den ger Weingarten avbildningen $-dN_{p}:T_{p}(S)\rightarrow T_{p}(S)$. Man ska kunna redogöra för att denna är självadjungerad och varför det finns en ON-bas för tangentrummet bestående av egenvektorer till.

Man ska känna till att egenvärdena till Weingartenavbildningen kallas principalkrökningar och att dess egenvektorer är principalriktningarna. Definitionen av asymptotisk linje och krökningslinje är viktiga.

Begreppen normalkrökning och normalsnitt ger en viktig geometrisk tolkning av andra fundamentalformen, som man ska kunna redogöra för.

Man ska känna till att Gausskrökning och medelkrökning är determinanten respektive halva spåret av Weingartenavbildningen, samt klassificeringen av punkter på ytan med hjälp av dessa begrepp.

Man ska veta hur matrisen för Weingarten kan uttryckas med hjälp av koefficienterna för första och andra fundamentalformerna (Weingartens ekvationer), efter val av lokal parametrisering och hur detta leder till formler för Gauss- och medelkrökning.

Man ska kunna härleda differentialekvationerna för asymptotisk linje och krökningslinje med hjälp av koefficienterna i första och andra fundamentalformerna.

Man ska känna till hur Dupins indikatris talar om karaktären av en punkt på ytan och att indikatrisen approximerar ett snitt mellan ytan och ett plan parallellt med tangentplanet i närheten av en icke-plan punkt.

Begreppen (glatt) vektorfält, samt trajektoria (integralkurva), lokalt flöde och första integral till sådant är viktiga.

Man ska känna till att givet två vektorfält på en yta som är linjärt oberoende i en punkt, så finns det en parametrisering av ytan så att koordinatkurvorna blir integralkurvor till vektorfälten, åtminstone i närheten av punkten.

Man ska förstå hur detta leder till att det finns en lokal ortogonal parametrisering runt varje punkt på en reguljär yta. Man ska känna till att det finns en parametrisering sådan att koordinatkurvorna är asymptotiska linjer kring varje hyperbolisk punkt och sådan att koordinatkurvorna är krökningslinjer kring varje icke-navelpunkt.

Man ska känna till begreppen regelyta, generatris, striktionslinje, centralpunkt och utvecklingsbar regelyta.