Do Carmo har en egen definition av vad det betyder att en funktion
där A är en godtycklig delmängd till
är kontinuerlig:
Definition Funktionen f är kontinuerlig om det finns en öppen
mängd och en kontinuerlig funktion
som restringerar till f på A, d.v.s
.
Den vanliga (ortodoxa) definitionen är:
Definition Funktionen f är kontinuerlig i om det till
varje
finns ett
så att
Man inser genast att om f är kontinuerlig i Do Carmos mening, så är den ortodoxt kontinuerlig. Men följande exempel visar att omvändingen inte gäller i allmänhet:
Exempel Låt vara
och sätt
Då är f uppenbart (orotdoxt) kontinuerlig i varje punkt i ]1/(i+1),1/i[, men också i 0, eftersom när
. Å andra sidan kan f inte utvidgas till en
kontinuerlig funktion på en öppen mängd som innehåller A. En sådan
skulle nämligen innehålla en omgivning till och därmed alla
]1/(i+1),1/i[ när i är tillräckligt stort. Eftersom restriktionen
av f till
saknar kontinuerlig
utvidgning till ]1/(i+2),1/i[ är existensen av
i Do Carmos
definition utesluten.
I kursen kommer vi framgent att använda den vanliga definitionen av kontinuitet. Det innebär att de två sista raderna i punkt 2 i definitionen av en reguljär yta (definition 1 sidan 52) bör strykas.
I beviset av proposition 4 sidan 64 använder Do Carmo den vanliga definitionen av kontinuitet och inte sin egen.